Calcule as seguintes integrais de superfícies:

b )   ∫ ∫ S x 2 d σ , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 ;

Passo 1

Ooi pessoal, tudo bom por aí?

Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S f x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização

f ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.

Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊

Passo 2

Precisamos calcular:

∫ ∫ S x 2 d σ

onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Ou seja, comparando com o caso geral dado no passo anterior:

∫ ∫ S f x , y , z d S

Temos:

f x , y , z = x 2

Massa!

Vamos então seguir a receita de bolo que comentamos anteriormente.

1 )   Parametrizar a superfície S :

Aqui, a nossa superfície S é uma esfera de raio:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

∴ R = 1

Vamos usar a parametrização clássica de superfícies esféricas:

x = 1 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) y = 1 ⋅ s e n   θ ⋅ s e n   ( ϕ ) z = 1 ⋅ cos ⁡ ( ϕ )

Onde θ ∈ [ 0,2 π ] e ϕ ∈ [ 0 , π ] .

Ou seja, temos a função:

ϕ θ , ϕ = cos ⁡ θ ⋅ s e n   ϕ , s e n   θ ⋅ s e n   ϕ , cos ⁡ ϕ  

Perfeito! Vamos para a próxima etapa.

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização:

Lembra que vimos:

f x , y , z = x 2

Mas, pela parametrização:

x 2 = cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n 2 ( ϕ )

Logo:

f ϕ θ , ϕ = cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n 2 ( ϕ )  

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

Vamos lá, encontramos que:

ϕ θ , ϕ = cos ⁡ θ ⋅ s e n   ϕ , s e n   θ ⋅ s e n   ϕ , cos ⁡ ϕ  

Assim:

∂ ϕ ∂ θ = ( - s e n θ ⋅ s e n   ϕ , cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) ,   0 )

Já se tomarmos a derivada parcial com relação a y , teremos:

∂ ϕ ∂ ϕ = cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ , s e n   θ ⋅ cos ⁡ ϕ , s e n   ϕ

Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ ϕ = i j k - s e n θ ⋅ s e n   ϕ cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) 0 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ s e n   θ ⋅ cos ⁡ ϕ - s e n   ϕ

= - c o s θ ⋅ s e n 2 ϕ i + - s e n θ ⋅ s e n 2 ϕ j + - s e n 2 θ ⋅ s e n ϕ cos ⁡ ϕ - cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n ϕ cos ⁡ ϕ k

Esse é justamente o vetor normal! Precisamos apenas calcular o seu módulo!

N → = ( s e n 4 ϕ ⋅ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ ⋅ s e n 4 ϕ + s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ

= 1 ⋅ s e n ( ϕ )

Perfeito!

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Montando essa integral, vamos ter:

∫ ∫ S x 2 d σ = ∫ ∫ D cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n 2 ϕ ⋅ s e n   ϕ d θ d ϕ

Como conhecemos os intervalos de variação e θ e de ϕ , podemos ajeitar os limites de integração.

Daí:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ( cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n 3 ϕ ) d θ d ϕ

Massa! Precisamos apenas resolver essa integral!

Passo 3

Temos que resolver a integral:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ( cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n 3 ϕ ) d θ d ϕ

Como as variáveis são independentes uma da outra, podemos escrever:

�� 0 π s e n 3 ϕ ∫ 0 2 π ( cos 2 ⁡ θ ) d θ d ϕ

Usando que:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Temos:

∫ 0 π s e n 3 ϕ ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ d ϕ

= θ + s e n 2 θ 2 2 0 2 π   ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ

= π ⋅ ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ

Excelente! É só calcularmos a segunda integral agora.

Para isso, podemos chamar:

cos ⁡ ϕ = u

∴ s e n ϕ d ϕ = - d u

Usando também que:

s e n 2 ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ

Que, com a substituição de variável, vai se tornar:

s e n 2 ϕ = 1 - u 2

Mudando também o intervalo de integração:

u i = cos ⁡ 0 = 1

u f = cos ⁡ ϕ = - 1

Vamos ter:

π ⋅ ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ = π ⋅ ∫ 1 - 1 1 - u 2 - d u

Com o sinal de ( - ) invertemos os limites de integração:

π ⋅ ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ = π ⋅ ∫ - 1 1 1 - u 2 d u

= π ⋅ u - u 3 3 - 1 1

= π ⋅ 1 - 1 3 3 - - 1 - - 1 3 3

Assim, teremos:

π ⋅ ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ = π ⋅ 4 3

Portanto:

∫ ∫ S x 2 d σ = 4 π 3

Valeu galerinha, até a próxima 😊

Resposta

4 π 3

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