Calcule a área da superfície S do semicone

z = x 2 + y 2

Contida no interior do elipsoide:

x 2 2 + y 2 4 + z 2 = 1

Passo 1

Olhando as duas curvas, temos algumas possibilidades de parametrização. Tentar parametrizar com coordenadas polares tentando fazer a equação do elipsoide ficar comportada vai fazer a equação do cone ficar uma zona. Então vamos com calma.

Uma alternativa boa é parametrizar o cone com coordenadas cartesianas mesmo (parametrização explícita) e depois, na pior das hipóteses, se tudo der errado, nós mudamos de coordenadas na integral mesmo (com o Jacobiano). Essa ideia de parametrização explícita com o cone não é uma má ideia porque o vetor normal dele tem módulo constante. Vamos ver isso mais adiante.

Parametrizamos S explicitamente por:

ϕ x , y = x , y , x 2 + y 2

A parametrização acima corresponde ao cone todo. Mas a área que nós queremos é só a do cone no interior do elipsoide. O cone encontra o elipsoide quando as equações são iguais:

z = x 2 + y 2 x 2 2 + y 2 4 + z 2 = 1 → 3 2 x 2 + 5 4 y 2 = 1

Passo 2

Achamos que é uma elipse. Portanto a região dos pontos no interior do elipsoide vão estar no interior da elipse. Portanto o conjunto D dos pontos que fazem parte do cone estão dentro do elipsoide é:

D = x , y , z ∈ R 3 z = x 2 + y 2 ,     3 2 x 2 + 5 4 y 2 ≤ 1     }

Por outro lado, calculamos o elemento de área nesta parametrização:

d S = ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y

Para calcular o produto vetorial calculamos as parciais primeiro:

∂ ϕ ∂ x = 1,0 , x x 2 + y 2

∂ ϕ ∂ y = 0,1 , y x 2 + y 2

Plugando no cálculo do produto vetorial:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2

Obtemos:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = - x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2 , 1

Cujo módulo é:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 1 + 1

Por fim, temos, conforme tinha dito anteriormente, que o módulo do vetor normal é uma constante.

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 2

Portanto, a área A de S é dada por:

A = ∬ D   ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y d x d y = 2 ∬ D   d x d y

Como o domínio D se trata de uma elipse, utilizamos a fórmula da área de uma elipse.

Dada uma elipse de equação:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A área desta é dada pr

π a b = π 2 3 × 4 5 = π 8 15

A = 2 × 8 15 = 4 π 15

Resposta

A = 4 π 15

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