Calcule a área da superfície dada pela equação 2 y + z = x 2 + y 2 + 1 com y ≥ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

Começamos com a parametrização da superfície em questão. Observa que podemos reescrever a superfície dessa forma:

2 y + z = x 2 + y 2 + 1

x 2 + y - 1 2 = z

Como se trata de um parabolóide, é razoável utilizar coordenadas cilíndricas. Entretanto, uma coisa que devemos sempre prestar atenção é nas equações das superfícies que limitam a que queremos descobrir a área.

Como se tratam de planos, não é adequada nenhuma parametrização que envolva funções trigonométricas (i.e. cilíndrica e esférica). Portanto, a melhor parametrização que conseguimos obter é a explícita...

Encontrando z em função de x e y obtemos:

x 2 + y - 1 2 = z

Portanto temos como parametrização:

ϕ x , y = x ,   y ,   x 2 + y - 1 2

Pelo enunciado ainda temos como domínio:

  x 2 + y - 1 2 ≤ 1

y ≥ 1

Passo 2

Para aplicar a fórmula da área precisamos do módulo do vetor normal:

A = ∬ D   N → d x d y

Mas como estamos trabalhando com uma parametrização explícita, podemos encontrar o vetor simplesmente fazendo:

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

∂ z ∂ x = 2 x

∂ z ∂ y = 2 ( y - 1 )

N → = 2 x 2 + 2 y - 1 2 + 1 2

N → = 1 + 4 x 2 + 4 y - 1 2  

Passo 3

Aplicando a fórmula, temos:

A = ∬ D   1 + 4 x 2 + 4 y - 1 2   d x d y

Sendo que:

D = x , y ∈ R 2   x 2 + y - 1 2 ≤ 1 ; y ≥ 1

O detalhe é que fazer essa conta obviamente não vai ser agradável... Vamos trocar de coordenadas por favor? Implementando coordenadas polares, obtemos:

x = r cos ⁡ t

y - 1 = r   s e n t → y = r   s e n t + 1

Daí tiramos que nosso domínio vai ser:

r cos ⁡ t 2 + r   s e n t 2 ≤ 1

r 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t ≤ 1

r 2 ≤ 1 →

0 ≤ r ≤ 1

Ainda, pra ver a variação de t:

y = 1

r   s e n t + 1 = 1

r   s e n t = 0

s e n t = 0

t = π

D = r , t ∈ R 2 0 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ t ≤ π

Falta só calcular o Jacobiano para trocar de variáveis. Lembrando lá das mudanças polares

∂ ( x , y ) ∂ ( r , t ) = r

Substituindo na integral os limites de integração junto com o jacobiano:

A = ∬ D   1 + 4 x 2 + 4 y - 1 2 d x d y

A = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2 × r   d r d t

u = 1 + 4 r 2

d u = 8 r   d r

d r = d u 8 r

r = 0 → u = 1

r = 1 → u = 5

A = ∫ 0 π d t ∫ 1 5 u 8   d u

A = π 8 2 u 3 2 3 1 5

A = π 12 ( 5 5   - 1 )

Finalmente encerramos!

Resposta

π 12 ( 5 5   - 1 )

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Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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