Calcule a área da superfície da equação z = 1 - y 2 compreendida entre os planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e o cilindro z = 1 - x 2 .

Passo 1

Vamos tentar fazer uma parametrização explícita:

ϕ x , y = ( x , y , 1 - y 2 )

Agora, vamos obter o conjunto dos pontos que estão na região que o enunciado quer, ou seja, entre os planos:

x = 0

y = 0

z = 0

z = 1 - x 2

Dessas duas últimas obtemos:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2

Certo? Pois se os pontos na nossa superfície estão entre uma coisa e outra, podemos escrever que a coordenada z deles respeita a relação acima.

Passo 2

Substituindo a parametrização que temos para z :

z = 1 - y 2

0 ≤ 1 - y 2 ≤ 1 - x 2

Obtemos pela inequação à esquerda:

0 ≤ 1 - y 2 → y 2 ≤ 1

y 2 ≤ 1 → - 1 ≤ y ≤ 1

Só que nossos pontos tem que estar entre y = 0 e alguma outra coisa, significando que:

0 ≤ y ≤ 1

Da inequação à direita, obtemos:

1 - y 2 ≤ 1 - x 2

- y 2 ≤ - x 2

y 2 ≥ x 2

Supomos ambos positivos, por estarem entre os planos y = 0 e x = 0 , portanto:

y ≥ x

Temos ainda que:

y ≥ x ≥ 0

Ainda por causa daquela condição de estar entre x = 0 .

Passo 3

Temos então que o nosso domínio (conjunto que governa as restrições dos parâmetros) é:

D = x , y ∈ R 2 0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ y

Então podemos correr atrás do elemento de área:

d S = ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y d x d y

Calculando as parciais:

ϕ x , y = ( x , y , 1 - y 2 )

∂ ϕ ∂ x = 1,0 , 0

∂ ϕ ∂ y = 0,1 , - 2 y

Calculando o produto vetorial:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 0 0 1 - 2 y

Que resulta em: ∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 0,2 y , 1

Segue que o módulo é:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = 4 y 2 + 1

Passo 4

Portanto:

A = ∬ D   4 y 2 + 1 d x d y

Plugando os limites de integração, que são provenientes do conjunto D :

A = ∫ 0 1 ∫ 0 y 4 y 2 + 1 d x d y

Estamos integrando em x primeiro, portanto essa função que não depende de x podemos tirar fora da integral de dentro:

A = ∫ 0 1 4 y 2 + 1 ∫ 0 y d x d y

Integrando em x é só lazer:

A = ∫ 0 1 4 y 2 + 1 x 0 y d y

A = ∫ 0 1 4 y 2 + 1 y - 0 d y

A = ∫ 0 1 y 4 y 2 + 1 d y

Passo 5

Por substituição simples:

v = 4 y 2 + 1 → d v = 8 y d y

d y = d v 8 y

Fazendo a indefinida:

I * = ∫ y v d v 8 y

I * = 1 8 ∫ v d v

I * = 1 12 v 3 2

I * = 1 12 4 y 2 + 1 3 2

Plugando os valores dos limites de integração:

I = 1 12 4 y 2 + 1 3 2 0 1

I = 1 12 5 3 2 - 1

Finalmente...

Resposta

A = 5 5 - 1 12

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