4) Calcule a área das Superfícies:

b) S : Parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , interior ao cone z = x 2 + y 2 3

Passo 1

Antes de mais nada, temos que parametrizar nossa superfície. Como se trata de uma esfera, nada melhor que coordenadas esféricas, de forma que, como já sabemos, a parametrização fica:

σ ϕ , θ = r cos ⁡ θ s e n ϕ , r   s e n θ s e n ϕ , r cos ⁡ ϕ

Como temos que o raio é 2 , a parametrização de fato fica:

σ ϕ , θ = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 2 sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 2 cos ⁡ ϕ

Passo 2

Agora temos que fazer a limitação da nossa região de integração, mas como vamos fazer isso? Vamos ver em que lugar a esfera corta o cone e tentar tirar por aí os limites, repara que temos algo assim

Isso nos diz que θ vai dar uma volta inteira, o que está sendo limitado é ϕ , então

θ ∈ 0,2 π

Vamos ver quando eles se encontram

  z = x 2 + y 2 3

3 z 2 = x 2 + y 2

Substituindo isso na equação da esfera vamos ter

x 2 + y 2 + z 2 = 4

3 z 2 + z 2 = 4

4 z 2 = 4

z 2 = 1

z = 1

Estamos pegando o valor positivo de z porque z > 0 por ser uma raiz positiva.

Usando as coordenadas esféricas vamos ter

2 cos ⁡ ϕ = 1

cos ⁡ ϕ = 1 2

O ângulo que tem cosseno igual a 1 2 é 60 ° que vai ser, em radianos,

ϕ = π 3

Então vamos ter

ϕ ∈ 0 , π 3

Passo 3

Aplicando a fórmula da integral de superfície:

A = ∬ D   ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ d ϕ d θ

Já sabemos quanto dá esse vetor normal da esfera, mas por prática nós vamos calcular tudo, começando pelas derivadas parciais:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ = cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ , - sen ⁡ ϕ

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = - sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 0

Calculando o produto vetorial:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = i j k 2 cos ⁡ t cos ⁡ θ 2 cos ⁡ t sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t sen ⁡ θ 2 sen ⁡ t cos ⁡ θ 0

Fica uma dica aqui: você pode fatorar do determinante do produto vetorial um termo de uma linha ou coluna dele. No caso nunca vamos fatorar as colunas porque o primeiro elemento é sempre um vetor ( i ,   j ,   k ), mas de resto esse truque é bastante útil. Na última linha podemos fatorar o s e n ( ϕ ) :

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 2 sen ⁡ ϕ i j k 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 s e n θ cos ⁡ ϕ - 2 s e n ϕ - s e n θ cos ⁡ θ 0

Pra quem acha que vai ajudar também pode fatorar da segunda linha o cos ⁡ ϕ , lembrando que vai sobrar - t g ϕ na última coluna. Eu não acho tão útil assim porque pode confundir mais depois, mas fica à critério de cada um. Seguindo:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 2 s e n ϕ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 2     s e n ϕ s e n θ , 2     cos ⁡ ϕ

Fazendo a distributiva do s e n ϕ que nós pusemos em evidência lá em cima:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 4 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ , s e n 2 ϕ s e n θ , s e n ϕ cos ⁡ ϕ

Passo 4

Buscando o módulo dessa monstruosidade:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 4 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ 2 + s e n 2 ϕ s e n θ 2 + s e n ϕ cos ⁡ ϕ 2  

It’s Algebra Time, baby! Pondo s e n 4 ( ϕ ) em evidência:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 4 s e n 4 ϕ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 4 s e n 4 ϕ + s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ

Pondo s e n 2 ( ϕ ) em evidência:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 4 s e n 2 ϕ s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 4 s e n 2 ϕ

Como o ângulo ϕ , por definição, pertence ao intervalo [ 0 , π ] ele nunca é negativo, portanto:

∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ ϕ × ∂ σ ( ϕ , θ ) ∂ θ = 4 s e n ϕ

Passo 5

Finalmente, podemos plugar os valores dos limites de integração na fórmula.

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 4 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 4 cos ⁡ ϕ ϕ = 0 π / 3 d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 4 cos ⁡ π 3 - - 4 cos ⁡ 0 d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 4 1 2 - - 4 ∙ 1 d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 2 + 4 d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2 d θ

⇒ 2 θ θ = 0 2 π

⇒ 2 2 π - 0

A = 4 π

Resposta

4 π

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