4) Calcule a área das superfícies:

g) S : parte da superfície z = x 2 + y 2 , compreendida entre os planos x + y = 1 , x + y = 2 , x = 0 e y = 0 .

Passo 1

Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:

A S = ∬ S   1   d S

Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo d S .

Passo 2

Precisamos da superfície parametrizada, as antes, quem é mais vantajoso nos perguntarmos quem é a superfície S ?

No nosso caso, estamos lidando um pedaço do cone:

Mas queremos apenas a parte que está entre os planos x + y = 1 , em verde, e x + y = 2 , em azul:

Não se preocupe na hora de fazer um esboço, afinal isso é apenas para nos dar uma noção de quem que estamos trabalhando. O que queremos mesmo é parametrizar isso daí, então bora?

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma superfície em cima de um cone de equação explícita

z = x 2 + y 2

Podemos pensar em uma parametrização explícita, tal que os dois parâmetros sejam o próprio x e y ...

r → x ,   y = x ,   y ,   x 2 + y 2

Passo 4

Como toda e qualquer parametrização, necessitamos de determinar onde é que os parâmetros x e y estão variando.

Bem, x e y varia na limitação imposta pelo problema, entre os planos verde e azul e no primeiro quadrante: como se olhássemos de cima para baixo...

Por hora, podemos simplesmente indicar que x e y estão dentro dessa região D aí, apenas para não perder o foco na integral de superfície ;)

x ,   y ∈ D

Passo 5

Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d x d y

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → x , y ∂ x × ∂ r → x , y ∂ y

Mas como parametrizamos como z em função explícita de x e y , ou melhor, como um gráfico de função, podemos usar o bizu de vetor normal nessas condições e ganhar tempo...

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

como

z = x 2 + y 2

∂ z ∂ x = 1 2 x 2 + y 2 ⋅ ∂ x 2 + y 2 ∂ x = x x 2 + y 2

∂ z ∂ y = 1 2 x 2 + y 2 ⋅ ∂ x 2 + y 2 ∂ y = y x 2 + y 2

Então...

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = - x x 2 + y 2 ,   - y x 2 + y 2 ,   1

Calculando o módulo...

N → = - x x 2 + y 2 2 + - y x 2 + y 2 2 + 1 2   →

N → = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 →

N → = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1   →

N → = 1 + 1 = 2

d S = 2   d x   d y

Passo 6

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

∬ S   1   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de x e y ).

A s = ∬ S   1   d S = ∬ D     2   d x   d y =

2 ∬ D       d x   d y

Epa! Integral dupla de 1   d x d y é a área da região D , como D é essa faixa:

A s = 2   A ( F a i x a )

Repare que podemos calcular a área do triângulo maior e subtrair pela área do triângulo menor:

Como o triângulo maior tem altura h = 2 e base b = 2 ...

A T m a i o r = b ⋅ h 2 = 2 ⋅ 2 2 = 2

O triângulo menor...

A T m a i o r = b ⋅ h 2 = 1 ⋅ 1 2 = 1 2

Então a área da faixa que queremos é...

A F a i x a = 2 - 1 2 = 3 2

então...

A s = 2   A F a i x a →

A s = 3 2 2

Resposta

3 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1