4) Calcule a área das superfícies:

c) S : porção do cilindro x 2 + y 2 = 1 , entre os planos z = y e z = 2 y .

Passo 1

Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:

A S = ∬ S   1   d S

Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo d S .

Passo 2

Precisamos da superfície parametrizada, as antes, quem é mais vantajoso nos perguntarmos quem é a superfície S ?

Bem, como o próprio problema nos indicou, é um pedaço do cilindro entre esses dois planos:

Note que existem dois pedaços de cilindro entre os planos, um de um lado e o outro do outro. Como existe uma simetria em relação ao plano x z , podemos calcular a área do pedaço de cima, que chamaremos de S 1 ,e depois multiplicar por dois...

A S = ∬ S   1   d S = 2 ∬ S 1   1   d S

Passo 3

Bem, estamos trabalhando com um pedaço de cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilíndricas:

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

z = z

Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo θ e o próprio z , esse R desaparece virando o raio do cilindro que estamos trabalhando...

R = 1

Logo a parametrização é...

x = cos ⁡ θ

y = sin ⁡ θ

z = z

Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...

r → θ ,   z = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   z

Passo 4

Ok, porém nunca deixamos uma parametrização sem antes encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo z , como pode ver na projeção da superfície S 1 no plano x y :

Precisamos de um θ dando uma meia volta:

0 ≤ θ ≤ π

Passo 5

Enquanto isso, o z varia entre os dois planos:

P l a n o   v e r d e ≤ z ≤ P l a n o   a z u l

Como o plano verde é z = y e o azul é z = 2 y ...

y ≤ z ≤ 2 y

Trocando o y pelo parâmetro...

sin ⁡ θ ≤ z ≤ 2 sin ⁡ θ

Passo 6

Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d z d θ

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → θ ,   z ∂ θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no d S corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...

r → θ ,   z = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   z           →  

  ∂ r → θ ,   z ∂ θ = - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ ,   0

∂ r → θ ,   z ∂ z = 0,0 ,   1

Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores i → , j → e k → ...

N → = ∂ r → θ ,   z ∂ θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

N → = i → j → k → - sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1                 →

N → = cos ⁡ θ i →   - - sin ⁡ θ   j → =

cos ⁡ θ i → +   sin ⁡ θ   j →

Então

N → = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   0

Bem, ainda não concluímos o termo d S , pois ele nos exige o módulo de N → , então devemos extrair a raiz quadrada...

N → = cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 2 + 0 2

N → = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

d S =   d z d θ

Passo 7

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

2 ∬ S 1   1   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S 1 , trocamos por D que é a região de variação de z e θ ).

A s = 2 ∬ S 1   1   d S = 2 ∬ D     d z d θ =

2 ∫ 0 π ∫ sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ d z d θ

Resolvendo a integral de dentro...

2 ∫ 0 π ∫ sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ d z d θ = 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ =

2 ∫ 0 π sin ⁡ θ d θ =

2 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 =

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Resposta

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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
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Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1