6) Calcule o fluxo do campo F → x ,   y ,   z = - y i → + x j → + 4 z 2 k → , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos z = 0 e z + y = 2 , com a normal apontando para fora do sólido.

Passo 1

Se o problema nos pediu fluxo de F → sobre uma superfície S , com toda certeza o que ele está buscando é que façamos uma integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ d S →

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Veja você que embora o campo é um pouco simpático com a gente, a superfície é uma superfície composta por outras três superfícies diferentes entre si, dois plano e um cilindro...

O fato de ter uma superfície composta já é uma indicação de que vamos ter que pegar o segundo caminho, ou seja, resolver pelo Teorema de Gauss. Mas, se você quer mais certeza ainda, calcule o divergente...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z

Como

F → x ,   y ,   z = - y i → + x j → + 4 z 2 k → = F 1 i → +   F 2 j → +   F 3 k →

Calculando as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = 0

∂ F 2 ∂ y = 0

∂ F 2 ∂ z = 8 z

Logo...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z = 8 z

Pow, com um divergente simples desses... Sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

∬ S   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada S delimitando o sólido W :

Como vimos, o sólido é:

Yes! A superfície é fechada.

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F → x ,   y ,   z = - y i → + x j → + 4 z 2 k →

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado.

Passo 3

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

∬ S   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho, acredita em mim!

Passo 4

∭ W   d i v   F →   d V = ∭ W   8 z   d V

Como estamos falando de um pedaço de um cilindro, podemos utilizar as mudanças para coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Onde o Jacobiano dessa mudança é:

J = r

E uma equação que nos ajuda muito é a equação do cilindro:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 5

Não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:

Para encontrar a variação de r e θ , devemos olhar pra projeção do sólido no plano x y ...

Veja que o raio r varia dentro da superfície desde a origem até o raio máximo do cilindro que é 1 ...

0 ≤ r ≤ 1

E o ângulo θ , bem, esse cara tá dando uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já variação do z , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:

Ou seja...

0 ≤ z ≤ p l a n o   z + y = 2

Isolando...

0 ≤ z ≤ 2 - y

Como agora estamos em outras coordenadas...

0 ≤ z ≤ 2 - r sin ⁡ θ

Passo 6

Retornando à integral que queremos resolver...

∭ W   8 z   d V

Onde vamos substituir tudo, não se esquecendo de colocar o Jacobiano...

∭ W   8 z   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 2 - r sin ⁡ θ 8 z J   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 2 - r sin ⁡ θ 8 z r   d z d r d θ =

Calculando a integral de dentro...

8 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r ∫ 0 2 - r sin ⁡ θ z   d z d r d θ = 8 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z 2 2 0 2 - r sin ⁡ θ d r d θ =

8 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 - r sin ⁡ θ 2 2 d r d θ = 8 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 - 4   r sin ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ 2 d r d θ =

Simplificando isso mais um pouco...

8 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r - 2   r 2 sin ⁡ θ + r 3 2 sin 2 ⁡ θ d r d θ =

E integrando em r ...

8 ∫ 0 2 π r 2 - 2 r 3 3 sin ⁡ θ + r 4 8 sin 2 ⁡ θ 0 1 d θ = 8 ∫ 0 2 π 1 - 2 3 sin ⁡ θ + 1 8 sin 2 ⁡ θ d θ =

Lembre-se que...

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Então...

8 ∫ 0 2 π 1 - 2 3 sin ⁡ θ + 1 8 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 8 ∫ 0 2 π 17 16 - 2 3 sin ⁡ θ - 1 16 cos ⁡ 2 θ d θ =

8 17 16 θ + 2 3 cos ⁡ θ - 1 16 sin ⁡ 2 θ 2 0 2 π = 8 17 16 2 π =

17 π

Ent��o pelo teorema de Gauss, o fluxo é...

∬ S   F → ⋅ d S → = 17 π

Resposta

17 π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1