Calcule a massa da superfície S onde S = x , y , z ∈ R x 2 + y 2 = 1 ,   1 ≤ z ≤ 4 } , com densidade pontual de massa δ x , y , z = z 1 + 5 z 2 - 3 / 2 .

Passo 1

Vamos, antes de tudo, desenhar essa superfície para termos uma ideia melhor do problema. Temos um cilindro de raio 1 com simetria em z e com z variando desde z = 1 até z = 4 .

O problema nos pede a massa dessa superfíce, sendo que nos foi dada a densidade pontual de carga δ x , y , z . Sendo d s o diferencial de àrea e d m o de massa, podemos dizer isso aqui:

d m = δ x , y , z d S

Certo? Integrando dos dois lados ao longo da superfície S , temos o seguinte:

M = ∬ S   δ ( x , y , z ) d S = ∬ D   δ ( φ θ ,   z ) ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z d θ d z

Passo 2

Agora precisamos parametrizar a superfície. Como se trata de um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas: x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ e z = z . Como o raio do cilindro é 1 , temos r = 1 :

φ θ ,   z = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   z )

Como temos uma volta completa em volta do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Como o próprio enunciado disse, temos 1 ≤ z ≤ 4 .

Passo 3

Calcular ∂ φ ∂ θ e ∂ φ ∂ z

∂ φ ∂ θ = ( - s e n   θ   , cos ⁡ θ , 0 )

∂ φ ∂ z = ( 0,0 , 1 )

Passo 4

Calcular N → θ ,   z

N → θ ,   z = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z

N → θ , z = - s e n   θ   , cos ⁡ θ , 0 × 0,0 , 1

N → θ , z = i j k - s e n   θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

N → θ , z = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   0 )

N → θ ,   z = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

Passo 5

Agora vamos montar a integral

M = ∬ D   δ ( φ θ ,   z ) ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ z d θ d z

Precisamos escrever

δ x , y , z = z 1 + 5 z 2 - 3 / 2

Em função das variáveis da parametrização

φ θ ,   z = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   z )

Usando essas definições da parametrização para as variáveis x , y e z , temos o seguinte:

δ φ θ ,   z = z 1 + 5 z 2 - 3 / 2

Não muda nada, né? Beleza, então podemos monta a integral:

M = ∫ 1 4 ∫ 0 2 π z 1 + 5 z 2 - 3 / 2 × 1 d θ d z

Esses intervalos são os que encontramos quando parametrizamos a superfície.

Passo 6

Resolver a integral

= ∫ 1 4 z 1 + 5 z 2 - 3 / 2 0 2 π d z =

= 2 π ∫ 1 4 z 1 + 5 z 2 - 3 / 2 d z =

Agora para integrar aqui vamos fazer

u = 1 + 5 z 2

d u = 10 z   d z     →       z d z = d u 10

z = 1       →         u = 6

z = 4       →         u = 81

= π 5 ∫ 6 81 u - 3 / 2 d u =

= - 2 π 5 u - 1 / 2 6 81 =

= 2 π 5 1 6 - 1 9 =

= π 45 ( 3 6 - 2 )

Resposta

π 45 ( 3 6 - 2 )

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