Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície de equação z = 1 - x 2 , compreendida entre os planos y = 0 e z = 0 e o cilindro z = 1 - y 2 ,   y ≥ 0 . Se o metro quadrado do zinco custa R reais, calcule o preço total da peça.

Passo 1

Vamos entender essa questão antes de qualquer coisa, ele nos diz um valor de preço por metro quadrado, certo? Se ele quer saber o preço total da peça, precisamos saber quantos metros quadrados tem a superfície, em outras palavras, precisamos calcular a sua área!

Para o cálculo da área de uma superfície, vamos usar essa integral aqui

Á r e a = ∬ S N → d S

Portanto precisamos parametrizar a superfície do enunciado, determinar seus limites e calcular sua normal. Depois é só colocar tudo isso na integral e resolver, vamos lá?

Passo 2

Vamos visualizar melhor a nossa superfície, o enunciado diz que tem a forma da equação

z = 1 - x 2

Portanto podemos parametrizar de forma explícita assim:

x = x

y = y

z = 1 - x 2

O esboço descrito pelo enunciado é esse aqui:

Perceba que a superfície de interesse é a vermelha, pois é a de equação z = 1 - x 2 , se quiséssemos visualizar somente ela seria assim

Dentro da nossa parametrização explícita, vamos projetar essa superfície no plano x y :

Podemos chegar nessa função igualando z = 1 - x 2 e z = 1 - y 2

1 - x 2 = 1 - y 2

x 2 = y 2

y = x

Vamos ter que dividir esse limite em dois, o primeiro quando x é negativo

0 ≤ y ≤ - x

- 1 ≤ x ≤ 0

O segundo quando x é positivo

0 ≤ y ≤ x

0 ≤ x ≤ 1

Passo 3

Definida a parametrização e os limites, vamos agora para o vetor normal, como a nossa parametrização é explícita, podemos usar aquele macete:

Para uma função f ( x , y ) , a normal vai ser dada por

N → = - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1

As derivadas de f x , y = 1 - x 2 vão ser

∂ f ∂ x = - 2 x

∂ f ∂ y = 0

Logo a nossa normal é dada por:

N → = 2 x , 0,1

Passo 4

Para a integral não precisamos somente da normal N → , precisamos do seu módulo, vamos fazer isso agora:

N → = 2 x 2 + 0 2 + 1 2 = 4 x 2 + 1

Passo 5

Botando tudo na integral:

∬ S N → d S = ∫ - 1 0 ∫ 0 - x 4 x 2 + 1 d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 x 4 x 2 + 1 d y d x

= ∫ - 1 0 - x 4 x 2 + 1 d x + ∫ 0 1 x 4 x 2 + 1 d x =

= ∫ 0 1 x 4 x 2 + 1 d x - ∫ - 1 0 x 4 x 2 + 1 d x

Vamos fazer uma substituição aqui:

4 x 2 + 1 = u

8 x d x = d u

x d x = d u 8

x = - 1 → u = 5

x = 0 → u = 1

x = 1 → u = 5

Voltando para a integral e trocando tudo isso:

= 1 8 ∫ 1 5 u d u - 1 8 ∫ 5 1 u d u =

Podemos juntar essas duas integrais né? Só invertermos a segunda

= 1 8 ∫ 1 5 u d u + 1 8 ∫ 1 5 u d u

= 1 4 ∫ 1 5 u d u = 1 4 2 3 u 3 2 u = 1 u = 5

= 1 6 5 5 - 1

Passo 6

Esse é o valor da área, certo? A única diferença no enunciado é que ele nos pede o preço teórico da superfície. Não tem problema, se essa é a área e o valor do metro quadrado é R , o valor total da peça vai ser Á r e a × R

R 6 5 5 - 1

Resposta

R 6 5 5 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
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Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1