Determine a área da lâmina do cilindro circular ∑ : x 2 + y 2 = 4 em R 3 contida entre o plano ( O x y ) e o cilindro parabólico P : z = y 2 , no primeiro octante.

Passo 1

Bom, vamos começar desenhando isso aí para entender melhor. Temos um cilindro circular x 2 + y 2 = 4 de raio 2 e um cilindro parabólico   z = y 2 .

O primeiro é tranquilo de desenhar, né. O segundo, nós podemos pensar que é uma parábola no plano y z que se “repete” ao longo do eixo x , dessa forma:

Foi? O problema pede a área do cilindro vermelho que está contida entre o cilindro azul e o plano x y , considerando apenas o primeiro octante. OI??? Calma, vamos fazer um outro desenho para entender melhor:

Aqui temos só o 1º octante, portanto já nos livramos dessa parte. Como o problema quer a parte da superfície vermelha entre a azul e o plano x y , queremos a parte do cilindro circular abaixo do cilindro parabólico.

Portanto, a superfície da questão é esse retalho do cilindro vermelho que está mais próximo da gente (abaixo da superfície azul e acima do plano x y ).

Passo 2

Show? Agora, para calcular a área dessa superfície, temos que começar parametrizando ela.

Como se trata de um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Já que o raio do cilindro x 2 + y 2 = 4 é r = 2 , temos:

φ θ ,   z = ( 2 cos ⁡ θ , 2   s e n   θ ,   z )

Beleza? Agora vamos pensar nos intervalos desses parâmetros, θ e z . Como o enunciado diz, a superfície está contida no 1º octante, portanto 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

A variável z , nós podemos ver que está entre o plano x y , onde z = 0 e a o cilindro parabólico, onde z = y 2 , que, em coordenadas cilíndricas é:

z = 4 s e n 2 θ

Portanto, temos 0 ≤ z ≤ 4 s e n 2 θ .

Passo 3

Agora, precisamos calcular ∂ φ ∂ θ e ∂ φ ∂ z

∂ φ ∂ θ = ( - 2   s e n   θ , 2 cos ⁡ θ ,   0 )

∂ φ ∂ z = ( 0,0 , 1 )

Passo 4

Calcular o módulo da normal N → θ ,   z

N → ( u , v ) = ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v

N → θ ,   z = ( cos ⁡ v ,   s e n v ,   0 ) × ( - u   s e n v ,   u cos ⁡ v ,   1 )

N → θ ,   z = i j k - 2   s e n   θ 2 cos ⁡ θ 0 0 0 1

N → θ ,   z = ( 2 cos ⁡ θ , 2   s e n   θ ,   0 )

N → θ ,   z = 4 cos 2 ⁡ θ + 4 s e n 2   θ = 2

Passo 5

Agora temos que montar a integral, temos:

A S = ∬ D   N → θ ,   z d z d θ

Substituindo:

A S = ∬ D   2 d z d θ = 2 ∬ D   d z d θ

Agora vamos substituir os intervalos que encontramos na parametrização:

= 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 s e n 2 θ d z d θ =

Passo 6

Beleza, agora é só resolver isso aí:

= 2 ∫ 0 π / 2 z 0 4 s e n 2 θ d θ =

= 2 ∫ 0 π / 2 4 s e n 2 θ d θ =

Aqui temos que usar a seguinte fórmula trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

= 8 ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

= 4 ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ =

= 4 θ - s e n 2 θ 2 0 π / 2 =

= 4 π 2 =

= 2 π

Resposta

2 π

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