Encontre a área da superfície y = 4 x + z 2 que está entre os planos x = 0 , x = 1 , z = 0 e z = 1 .

Passo 1

Bem, área de superfície para a gente aqui é uma integral de superfície

∬ S   1 d S

Onde S é a superfície que a gente busca saber a área, ou seja, é o gráfico de y = 4 x + z 2 .

Não sabemos trabalhar com essa superfície dessa forma, por isso bora parametriza ela?:)

Passo 2

Como temos uma variável explicitamente em função de outras duas

y = 4 x + z 2

Podemos tentar uma parametrização explícita, ou seja

σ x ,   z = x ,   4 x + z 2 ,   z

Onde os limites dos nossos parâmetros são os planos que nos foi dado, ou seja:

x varia de 0 até 1

0 ≤ x ≤ 1

E z , também

0 ≤ z ≤ 1

Passo 3

Bem, para resolver aquela integral de superfície, devemos ter o termo d S . Pela teoria

d S = N → d x d z

Epa! Não saímos sem o vetor norma, portanto vamos calcula-lo antes:

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ z

Como a superfície é σ x ,   z = x ,   4 x + z 2 ,   z , calculando as derivadas parciais

∂ σ ∂ x = ∂ x ,   4 x + z 2 ,   z ∂ x = 1 ,   4 ,   0

∂ σ ∂ z = ∂ x ,   4 x + z 2 ,   z ∂ z = 0 ,   2 z ,   1

Jogando no produto vetorial lembrando que produto vetorial é um determinante...

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ z = i ^ j ^ k ^ 1 4 0 0 2 z 1

Calculando esse determinante

N → = 4 i ^ + 2 z k ^ - j ^ =

4 ,   - 1 ,   2 z

Extraindo o módulo

N → = 4 2 + - 1 2 + 2 z 2

N → = 16 + 1 + 4 z 2

Logo

d S = 17 + 4 z 2   d x d z

Passo 4

Retornando para a integral de superfície que vemos calcular

∬ S   1 d S

Substituindo esses caras que acabamos de encontrar

∫ 0 1 ∫ 0 1 17 + 4 z 2   d x d z

Bem agora não tem mais nada de integral de superfície e sim, integração, Partiu?

Passo 5

Calculando primeiro a integral em x , considerando y constante...

∫ 0 1 17 + 4 z 2   x 0 1 d z =

Substituindo esses limites de integração...

∫ 0 1 17 + 4 z 2 1 - 0 d z = ∫ 0 1 17 + 4 z 2 d z

Bem, agora para essa integral aí, teremos que fazer alguma substituição. Mas antes, vamos manipular esse denominador

∫ 0 1 17 1 + 4 17 z 2 d z

Se lembrarmos de que cosh 2 ⁡ t - sinh 2 ⁡ t = 1 (sim... as hiperbólicas, mas infelizmente, essa é saída mais viável) então, por comparação com o termo dos parênteses

1 + 2 17 z 2

Tiramos que

2 17 z = sinh ⁡ t     →

Logo, passando essa raiz e esse 2 pro outro lado

z = 17 2 sinh ⁡ t

e derivando (lembre-se que a derivada do seno hiperbólico é o cosseno, porém hiperbólico )

d z = 17 2 cosh ⁡ t   d t

Substituindo...

∫ 0 1 17 1 + 4 17 z 2 d z = ∫     17 1 + sinh 2 ⁡ t ∙ 17 2 cosh ⁡ t d t =

Observe que não colocamos os limites, pois os limites são de z , e vamos trabalhar com as hiperbólicas. Mas não se preocupe! No final trocamos tudo para z e voltamos com eles !

∫     cosh ⁡ t ∙ 17 ∙ 17 2 cosh ⁡ t d t =

17 2 ∫     cosh 2 ⁡ t d t

Passo 6

Então, se tivéssemos trabalhando com uma integral de cosseno ao quadrado normal, o que faríamos?

Sim, substituiríamos por cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 .

Então, com o cosseno hiperbólico, também é parecido: cos h 2 ⁡ t = 1 + cosh ⁡ 2 t 2

17 2 ∫     cosh 2 ⁡ t d t = 17 2 ∫     1 + cosh ⁡ 2 t 2 d t =

17 4 ∫ 1 + cosh ⁡ 2 t d t =

Integrando o 1

17 4 t + ∫ cosh ⁡ 2 t d t

E agora integrando esse cosseno hiperbólico fazendo uma substituição simples de 2 t

2 t = a             →               d a = 2 d t       →       d t = d a 2

∫ cosh ⁡ 2 t d t = ∫ cosh ⁡ a d a 2 =

Se a derivada de sinh ⁡ t é cosh ⁡ t , então a integral vale

∫ cosh ⁡ 2 t d t = 1 2 sinh ⁡ a = sinh ⁡ 2 t 2

Concluímos então que a integral vale

17 2 ∫     cosh 2 ⁡ t d t = 17 4 t + sinh ⁡ 2 t 2

Passo 7

Pow, devemos voltar com a variável z original, e para isso, vamos primeiro desmembrar aquele seno de 2 t

17 4 t + sinh ⁡ 2 t 2 = 17 4 t + 2 sinh ⁡ t ∙ cosh ⁡ t 2

Para voltar para a variável z , sabemos que

2 17 z = sinh ⁡ t

Então precisamos buscar quem é o t e quem é o cosh ⁡ t

Passo 8

Para o cosseno hiperbólico, pela equação fundamental:

cosh 2 ⁡ t - sinh 2 ⁡ t = 1

cosh 2 ⁡ t = 1 + sinh 2 ⁡ t

Extraindo a raiz, mas pegando só o lado positivo (O negativo não interessa)

cosh ⁡ t = 1 + 2 17 z 2

Para o t , basta toma a função inversa do seno (hiperbólico) quem, é?

t = arcsinh ⁡ 2 17 z

Substituindo tudo...

∫ 0 1 17 1 + 4 17 z 2 d z = 17 4 t + 2 sinh ⁡ t ∙ cosh ⁡ t 2 =

17 4 arcsinh ⁡ 2 17 z + 2 2 17 z ∙ 1 + 2 17 z 2 2 0 1 =

Substituindo os limites de integração...

17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 4 17 ∙ 1 + 2 17 2 2 - 17 4 arcsinh ⁡ 0 + 4 17 ∙ 0 1 + 2 17 ∙ 0 2 2

Calma! Não se assuste, pois arco seno hiperbólico de 0, é como arcsin ⁡ 0 = 0 , então

∫ 0 1 17 1 + 4 17 z 2 d z = 17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 4 17 ∙ 1 + 4 17 2 =

Dividindo esse troço da fração por 2

∫ 0 1 17 1 + 4 17 z 2 d z = 17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 2 17 ∙ 1 + 4 17

Basicamente já acabou, mas se quiser deixar esse resultado mais elegante,

∫ 0 1 17 1 + 4 17 z 2 d z = 17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 2 17 ∙ 17 + 4 17

17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 2 17 ∙ 21 17 =

17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 2 21 17

Removendo esse parênteses...

∫ 0 1 17 1 + 4 17 z 2 d z = 17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 21 2

Resposta

17 4 arcsinh ⁡ 2 17 + 21 2

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