Seja S a superfície definida pela parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

  1. Determine uma parametrização para a superfície S juntamente com o domínio D da parametrização.
  2. Parametrize o bordo da superfície.
  3. Use a parametrização para explicitar o elemento de área de superfície.
  4. Calcule a integral

∬ S z d S

Passo 1

Vamos começar pela parametrização da curva S . Cada superfície tem uma parametrização diferente. As vezes utilizamos coordenadas cilíndricas, as vezes as esféricas.

Mas para o caso de um plano, que é o caso desta questão, basta isolarmos a variável z da sua equação. Com isto, vamos obter:

z = - 2 x - 5 y + 10

E agora, o que fazer? Vamos montar uma função vetorial r → t = x , y , z . E com isto, basta substituirmos a relação que z assume, conforme descobrimos anteriormente. Portanto, temos a seguinte equação paramétrica para a superfície S:

r → x , y = x , y , - 2 x - 5 y + 10

Para finalizarmos esta letra, precisamos descobrir qual é o domínio D desta superfície. Como a questão já nos diz, a superfície S é a parte do plano dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 . Então, a região dentro desse cilindro é o nosso domínio!

Se a gente deixa bem claro, explícito, o nosso domínio é:

D = x , y ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4

E assim conseguimos finalizar a letra a

Passo 2

Esta história de parametrizar o bordo da superfície S seria encontrar uma curva que pertence tanto ao plano quanto a superfície do cilindro.

Então, o que temos que fazer aqui, é compor a superfície r → x , y = x , y , - 2 x - 5 y + 10 encontrada na resolução da letra a) com a parametrização da curva que corresponde ao bordo do cilindro, o que significa em um disco.

Como o disco tem equação x 2 + y 2 = 4 , uma parametrização seria chamar x = 2 cos ⁡ t e y = 2 sen ⁡ t (percebam que estamos utilizando aqui coordenadas cilíndricas, em que o número 2 corresponde ao raio do disco). Além disto, vamos variar o valor de t no intervalo 0,2 π .

Para nós finalizarmos esta letra, basta pegarmos esta parametrização do disco e substituir na parametrização da superfície. Com isto, vamos obter:

r → 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , - 2 ⋅ 2 cos ⁡ t - 5 ⋅ 2 sen ⁡ t + 10

r → t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , - 4 cos ⁡ t - 10 sen ⁡ t + 10

OBS: percebam uma pequena diferença com o resultado do gabarito publicado. Isto aconteceu pois esqueceram de multiplicar as variáveis x e y no caso da terceira coordenada pelos coeficientes.

Passo 3

O elemento de área d S é obtido da norma do produto vetorial de r → x x , y por r → y x , y . Isto é,

d S = | | r → x x , y ∧ r → y x , y | | d x d y

Eita, muita informação de uma vez só. Vamos devagar então.

Começaremos obtendo as derivadas parciais da equação paramétrica da superfície S, r → x , y = x , y , - 2 x - 5 y + 10 . Para isto, basta lembrar que ao derivarmos em relação a x , consideramos y constante, e vice-versa. Logo,

r → x x , y = 1,0 , - 2

r → y x , y = 0,1 , - 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre eles. Para isto, basta montar uma matriz 3x3 em que a primeira linha consiste nos vetores da base canônica (i,j,k), na segunda linha são as coordenadas do primeiro vetor e na terceira linha as coordenadas do segundo vetor. O determinante desta matriz é o nosso vetor resultante.

Portanto, calculando o produto vetorial, temos:

r → x x , y ∧ r → y x , y = i j k 1 0 - 2 0 1 5 = - 2 i - 5 j + k

Calculando a norma deste vetor resultante, temos:

| | r → x x , y ∧ r → y x , y | | = - 2 2 + - 5 2 + 1 2 = 4 + 25 + 1 = 30

Portanto, o elemento de área é:

d S = 30 d x d y

Passo 4

Por fim, vamos calcular a integral ∬ S z d S . Primeiro, nós substituímos quem é a variável z (obtida diretamente pela equação do plano). Portanto, nossa integral é:

∬ S z d S = ∬ S - 2 x - 5 y + 10 d S

O elemento de área d S foi calculado no item anterior. Portanto, basta substituirmos na relação acima.

Contudo, teríamos um problema ao fazer isto. Teríamos que explicitar os limites de integração, que saem diretamente do domínio D encontrado no Passo 1, D = x , y ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4 . Só que percebam que o domínio é uma região circular. Fica muito mais fácil resolver esta integral dupla se mudarmos o nosso sistema de coordenadas para as coordenadas polares.

E é isto o que vamos fazer. Vamos mudar o elemento de área para coordenadas polares e a função z da nossa integral. Lembrando, as coordenadas polares são dadas por:

x = ρ cos ⁡ t

y = ρ sen ⁡ t

Com 0 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ t ≤ 2 π (limites que saem diretamente do disco de raio 2 e arco 2 π . Continuando, o elemento de área é:

d S = 30 d x d y = 30 ρ d ρ d t

E sendo assim, a nossa integral se transforma em:

∬ S - 2 x - 5 y + 10 d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - 2 ρ cos ⁡ t - 5 ρ sin ⁡ t + 10 30 ρ d ρ d t

Agora, só nos resta resolvermos esta integral dupla. Primeiro, vamos reorganizar e entrar em relação a ρ . Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 30 - 2 ρ 2 cos ⁡ t - 5 ρ 2 sin ⁡ t + 10 ρ d ρ d t

∫ 0 2 π 30 - 2 ρ 3 3 0 2 cos ⁡ t - 5 ρ 3 3 0 2 sin ⁡ t + 10 ρ 2 2 0 2 d t

∫ 0 2 π 30 - 2 ⋅ 8 3 cos ⁡ t - 5 ⋅ 8 3 sin ⁡ t + 10 ⋅ 2 d t

∫ 0 2 π 30 - 16 3 cos ⁡ t - 40 3 sin ⁡ t + 20 d t

Agora, vamos integrar em relação a t . Portanto,

∫ 0 2 π 30 - 16 3 cos ⁡ t - 40 3 sin ⁡ t + 20 d t = 30 - 16 3 sen ⁡ t + 40 3 cos ⁡ t + 20 t 0 2 π

30 ⋅ - 16 3 sen ⁡ 2 π + 40 3 cos ⁡ 2 π + 20 ⋅ 2 π - - 16 3 sen ⁡ 0 + 40 3 cos ⁡ 0 + 20 ⋅ 0

30 ⋅ - 16 3 ⋅ 0 + 40 3 ⋅ 1 + 40 π - - 16 3 ⋅ 0 + 40 3 ⋅ 1 + 0 = 40 π 30

Portanto, a resposta da nossa integral é:

∬ S z d S = 40 π 30

Resposta

  1. A equação parametrizada da superfície e o domínio são:
  2. r → x , y = x , y , - 2 x - 5 y + 10

    D = x , y ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4

  3. A parametrização do bordo da superfície é:
  4. r → t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , - 4 cos ⁡ t - 10 sen ⁡ t + 10

  5. O elemento de área é:
  6. d S = 30 d x d y

  7. O resultado da integral é:

∬ S z d S = 40 π 30

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