Seja S a superfície obtida pela rotação da curva z = cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 2 em torno do eixo z . Seja r u , v = u cos ⁡ v ,   u   s e n v , cos ⁡ u , onde 0 ≤ u ≤ π 2 , 0 ≤ v ≤ 2 π uma parametrização de S . Considere a função escalar f x , y , z = 1 2 - z 2 .

  1. Calcule r u × r v
  2. Encontre a equação do plano tangente que passa pelo ponto correspondente a u = v = π 4
  3. Calcule ∬ S   f ( x , y , z ) d S

Passo 1

Letra a)

Temos:

r u = cos ⁡ ( v ) ,   s e n v , - s e n ( u )  

r v = - u   s e n v ,   u cos ⁡ v , 0

Agora vamos fazer o produto vetorial:

r u × r v = i j k cos ⁡ v s e n v - s e n u - u   s e n v u cos ⁡ v 0

= = u   s e n u cos ⁡ ( v ) , u   s e n u s e n v ,   u cos 2 ⁡ v + u   s e n 2 ( v ) =

= u   s e n u cos ⁡ ( v ) , u   s e n u s e n v ,   u )

Passo 2

Letra b)

Bom, para encontrar a equação de um plano precisamos de um vetor e um ponto, e nós temos:

r u × r v = u   s e n u cos ⁡ ( v ) , u   s e n u s e n v ,   u )

E o ponto corresponde a

u = v = π 4

Na parametrização

r u , v = u cos ⁡ v ,   u   s e n v , cos ⁡ u

Portanto:

P = π 2 8 , π 2 8 , 2 2

Agora vamos ver se a superfície é lisa no ponto P , ou seja, se r u × r v ( P ) ≠ 0 :

r u × r v ( P ) = π 8   , π 8 ,   π 4 ≠ 0

Beleza. Como esse vetor é normal ao plano que queremos, sabemos que a equação do plano é a seguinte:

π 8 x + π 8 y + π 4 z = d

Como o ponto π 2 8 , π 2 8 , 2 2 pertence ao plano, podemos substituí-lo na equação para encontrar d :

π 8 π 2 8 + π 8 π 2 8 + π 4 2 2 = d

π 2 2 64 + π 2 2 64 + π 2 8 = d

d = π 2 ( π + 4 ) 32

Então a equação que queremos é

π 8 x + π 8 y + π 4 z = π 2 ( π + 4 ) 32

Passo 3

Letra c)

Vamos usar essa fórmula aqui para calcular a integral de superfície escalar:

∬ S   f ( x , y , z ) d S = ∬ D   f ( r ) ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v d u d v

Como a superfície já está parametrizada, basta escrever o campo

f x , y , z = 1 2 - z 2

Nas variáveis da parametrização

f r = 1 2 - cos 2 ⁡ ( u )

E calcular r u × r v

r u × r v = u   s e n u cos ⁡ v 2 + u   s e n u s e n v 2 + u 2

r u × r v = u 2 s e n 2 ( u ) + u 2

r u × r v = u s e n 2 ( u ) + 1 =

r u × r v = u 1 - cos 2 ⁡ u + 1 =

r u × r v = u 2 - cos 2 ⁡ u

Show, agora levando para a integral:

∬ S   f ( x , y , z ) d S = ∬ D   1 2 - cos 2 ⁡ ( u ) u 2 - cos 2 ⁡ u d u d v

∬ S   f ( x , y , z ) d S = ∬ D   u d u d v

Onde D é definido por 0 ≤ u ≤ π 2 e 0 ≤ v ≤ 2 π .

∬ S   f ( x , y , z ) d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 u d u d v

∬ S   f ( x , y , z ) d S = 1 2 ∫ 0 2 π u 2 0 π / 2 d v

∬ S   f ( x , y , z ) d S = π 2 8 ∫ 0 2 π d v d v

∬ S   f ( x , y , z ) d S = π 3 4

Resposta

  1. r u × r v = u   s e n u cos ⁡ ( v ) , u   s e n u s e n v ,   u )
  2. π 8 x + π 8 y + π 4 z = π 2 ( π + 4 ) 32
  3. π 3 4

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