19. Uma bola de argila com massa m = 50   g é arremessada com velocidade v → = - 10   i ^   ( m / s ) tangencialmente à borda de um disco homogêneo de massa M   =   2,0   k g e raio R = 15   c m . O disco repousa sobre uma superfície lisa (no plano x y ) e pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo, que passa pelo centro do disco (o ponto O da figura) e que está orientado na direção do eixo z . Considerando que, ao colidir com a borda do disco, a argila gruda-se a ela, podemos afirmar que o módulo da velocidade angular do disco, em radianos por segundo, após a colisão é:

Passo 1

E aí meus caros! Aqui vamos nós pra penúltima questão dessa P 2 de Física!

A questão nos diz que uma bolinha de argila é arremessada com uma certa velocidade e vai colidir tangencialmente na borda de um disco preso a um eixo. Após a colisão, a argila gruda-se ao disco e o sistema passa a girar

Bom! Pelo que podemos ver, tem tudo pra ser uma questão sobre conservação de momento angular.

E como é quase uma tradição, vamos começar nossa resolução fazendo o diagrama de corpo livre pro nosso sistema, definindo as coordenadas e tal...

Há duas forças atuando sobre o disco, que são a força peso do disco e a força de reação normal do plano. Em relação ao ponto central do disco, não existem torques externos (devido às forças peso e normal se anularem) sobre o sistema (disco com argila), de modo que o momento angular do mesmo deve se conservar em relação ao ponto O.

Como não tem torque externo, então o momento angular do nosso sistema se conserva!

Passo 2

Se liga! O momento angular inicial ( L → i ) é devido apenas ao movimento da argila. O disco em repouso não possui momento angular inicial.

Para o movimento da argila no plano x y , o momento angular da argila em relação ao ponto O é dado por:

L → i = L → a r g i l a   k ^

L → i = m r v i   k ^

E é importante destacar que esse momento é constante enquanto se aproxima do disco, pois não existe torque exercido sobre a argila até que ela colida com o disco.

Durante a colisão, aparecem forças tanto na argila como no disco, que alteram a condição de movimento tanto da argila (que tem a sua velocidade reduzida) quando do disco (que passa a rodar). Entretanto, essas são forças internas ao sistema formado por (disco+argila) e por isso o momento angular do sistema se conserva. O problema seria se essas fossem forças externas.

Após a colisão inelástica, o momento angular final L → f é dado por:

L → f = L → a r g i l a + L → d i s c o

Onde o momento angular da argila é dado por:

L → a r g i l a = m R v f   k ^

E o momento angular do disco, depende do seu momento de inércia e é dado por:

L → d i s c o = I d i s c o ω f   k ^

Mas tem uma coisa interessante aqui! A questão fala pra gente que a argila fica presa no disco. Portanto, os dois passam a ter a mesma velocidade... Sendo assim, v f pode ser escrita como:

v f = ω f R

E então, temos que:

L → f = L → a r g i l a + L → d i s c o

L → f = m R v f + I d i s c o ω f   k ^

L → f = m R 2 ω f + 1 2 M R 2 ω f   k ^

L → f = m + 1 2 M R 2 ω f   k ^

Passo 3

Como já sabemos que o momento se conserva...

L → i = L → f

Igualando os módulos dos dois:

m R v i = m + 1 2 M R 2 ω f

E isolando ω f :

ω f = m R v i m + 1 2 M R 2

ω f = m v i m + 1 2 M R

Substituindo os valores numéricos já conhecidos, o módulo deles viu!?

ω f = m v i m + 1 2 M R

ω f = ( 50 ⋅ 10 - 3   k g ) ( 10   r a d / s ) 50 ⋅ 10 - 3   k g + 1 2 ⋅ 2   k h ( 0,15   m )

ω f = 3,17   r a d / s

Obtemos a velocidade angular do sistema (disco+argila) após a colisão!

Faltam só mais uma galera!

Bora pra frente!

Resposta

ω f = 3,17   r a d / s

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