Questão 2) A figura ao lado representa um gato de massa m , situado na borda de um disco de raio R e massa M = 4 m que gira em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro (como um carrossel) com velocidade angular ω i = ω no sentido anti-horário. De repente o gato salta para fora do disco em uma direção tangente à sua borda.

b). Determine o módulo da velocidade tangencial v do gato ao saltar, para que o disco inverta o sentido de rotação, passando a girar no sentido horário com metade da velocidade angular inicial ( ω f = ω / 2 ). O salto deve ocorrer no sentido horário ou anti-horário?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Temos um disco de massa M e raio R que gira a uma velocidade angular ω (anti-horário). Na borda desse disco há um gatinho de massa m que inicialmente está parado em relação ao disco.

Então subitamente o gatinho pula do disco com um trajeto tangencial à borda do disco.

Após esse momento, o disco passa a girar a uma velocidade ω f .

Sabendo que M = 4 m , qual deve ser a velocidade tangencial v do gato para que a relação ω f = ω / 2 seja satisfeita e o gatinho deve pular no sentido horário ou anti-horário?

Tem ideia do que fazer? 🤔🤔

Pelo princípio da conservação do momento angular que discutimos no item a, podemos dizer que L i = L f , sendo que o salto do gatinho cria uma perturbação no giro do disco, fazendo o mesmo perder ou ganhar velocidade angular.

Entendeu? 😁

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos responder se o gatinho deve pular na direção horária ou anti-horária. O que você acha?

Podemos responder essa pergunta a partir da informação de que a velocidade angular final é igual a metade da velocidade angular inicial, ou seja, ω f < ω .

Se quando o gato pula, a velocidade angular diminui, certamente ele exerce uma força contrária ao giro. Ou seja, o disco gira no sentido anti-horário e o gato faz uma força no sentido horário.

Se o gato faz uma força no sentido horário, o salto deve ser no sentido anti-horário já que o atrito entre o gato e o disco acontece no sentido contrário ao movimento. Entendeu?

Ou seja, o salto deve ocorrer no sentido anti-horário!

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos obter a velocidade linear do gato sabendo que ω f = ω / 2 e que   L i = L f .

O momento linear pode ser calculado como L = I ω ou também como L = R P s e n θ , onde P é o momento linear do gato (como R e P são perpendiculares, s e n θ = 1 ).

Vamos lá! Inicialmente vamos calcular L i como

L i = I ω

Então temos que encontrar o momento de inércia I do sistema nesse instante.

O gatinho gira a uma distância R do eixo de rotação. Considerando ele como um ponto adimensional, temos

I g = m R 2

Agora para o disco vemos que o seu momento de inércia é o mesmo que o momento de inércia do cilindro, ou seja

I c = M R 2 2

Logo, o momento I do sistema é igual a soma de I g com I c

I = I c + I g

I = M R 2 2 + m R 2

Se M = 4 m , então

I = 4 m R 2 2 + m R 2 = 2 m R 2 + m R 2

I = 3 m R 2

Substituindo I que calculamos em L i = I ω , temos

L i = 3 m R 2 ω

L i = 3 ω m R 2

Entendeu essa parte? 👍

Passo 4

Agora, como o momento angular se conserva por não haver torques externos no sistema, vamos calcular o momento angular final.

Para o disco, vamos fazer a mesma análise que fizemos anteriormente, porém com alguns valores diferentes

L f d i s c o = I d i s c o ω f

Como vimos que I d i s c o = M R 2 2 , temos

L f d i s c o = M R 2 2 ω f

Se M = 4 m e se ω f = ω / 2 , vamos obter

L f d i s c o = 4 m R 2 2 ω 2

L f d i s c o = m ω R 2

Mas e aí, tudo certo? 🤔

No enunciado foi dito que após o pulo do gato, o disco girou no sentido oposto (horário).

Como consideramos o sentido anti-horário como positivo antes, agora temos que considerar esse resultado como negativo.

L f d i s c o = - m ω R 2

Interessante, não é? 😎

Passo 5

E o gatinhoo?? 😍

Vamos calcular seu momento angular agora!

A maneira mais conveniente de fazer esse cálculo é usar a equação

L f g a t o = R P s e n θ

Mas como R → e P → são perpendiculares pelo fato da trajetória do gatinho ser tangente ao disco, temos que s e n θ = 1 resultando em

L f g a t o = R P

Lembra o que é P ?

Esse é o momento linear! Que pode ser calculado como o produto da massa pela velocidade de um objeto, ou seja

P = m V

Substituindo P em L f g a t o

L f g a t o = R m V

Dessa forma, o momento angular total é dado por

L f = L f d i s c o + L f g a t o

Ou seja

L f = - m ω R 2 + R m V

Entendeu? 😁

Passo 6

Por fim, aplicando o princípio de conservação do momento angular, temos

L i = L f

Se L i = 3 m ω R 2 e se L f = - m ω R 2 + R m V , vamos obter

3 m ω R 2 = - m ω R 2 + R m V

Passando o - m ω R 2 para o outro lado com o sinal trocado

4 m ω R 2 = R m V

Dessa forma, podemos simplificar a equação cortando R e m dos dois lados

4 ω R = V

V = 4 ω R

Com isso, vimos que a velocidade que o gatinho deve atingir ao pular do disco para que as condições do enunciado aconteçam é dada por V = 4 ω R !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

V = 4 ω R

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