Durante uma competição de bilhar, Efren Manalang Reyes, um dos melhores jogadores de todos os tempos, atinge a bola com o seu taco como indicado na figura A   ( φ > 45 ) . O taco exerce uma força constante F → (alinhada com o taco como mostra a figura A) durante um intervelo de tempo Δ t , produzindo na bola um impulso linear de módulo J. A bola (massa M e raio R ) ao ser atingida pelo taco não rococheteia e move-se em linha reta para a

Direita, girando como indicado na figura B até um instante t D medido a partir do início do movimento. A partir desse instante de tempo, a bola começa a deslizar, sem girar, sobre a mesa até o instante t g , a partir do qual começar a rolar sem deslizar. O coeficiente de atrito entre a bola e a mesa é μ .

Passo 1

Forças no sistema de coordenadas

N → = N i

f a t → = - N μ     i

F → = F s e n φ i - F c o s φ j

P → = - m g   j

Torques:

Como as forças N → e P → tem o raio de ação em cima do centro de massa da roda elas não vao exercer torque.

τ f a t = - R j   x - N μ i = - R N μ   k

τ F = - R i   x   F s e n φ i - F c o s φ j = R F   c o s φ   k

Passo 2

Bom, vamos calcular a variação de momento linear através da força externa que age na bola, ok ?

Δ p → b o l a = J e x t R

Assim como a taxa de variação no tempo do momento angular vai ser igual ao torque nesse ponto

d L → b o l a d t = τ C M

Assim, juntandos as forcas que temos ficamos com:

Δ p → b o l a = f e x t R = F + N + P Δ t

Δ L → b o l a = τ F Δ = I C M Δ ω

Trabalhando com a equacao do momento linear primeiro, ok

M v 0 = F   s e n   φ i + N - M g - F c o s φ j Δ t

Como não há variação de velocidade no eixo x, temos que as forcas no eixo x vao se anular, ficando so as do eixo y

M v 0 = F Δ t   s e n φ = J s e n   φ

A velocidade inicial fica então

v 0 = J M   s e n   φ

Agora voltando para a equação do momento angular, temos

τ Δ t = R   F cos ⁡ φ k   e   I C M Δ ω = 2 5 M R 2 ω

Assim, isolando a velocidade angular a gente fica com

ω = 5 J 2 M R cos ⁡ φ   k

Passo 3

Vamos dividir a velocidade do centro de massa em translação e rotação

Rotação

τ f a t = I c m α

Translação

M a → C M = f a t + N + P

Como a Normal e a força peso se anulam, vamos ter que a aceleração só vai existir no eixo, que vai ser feita pela força de atrito.

M a = - M g μ

a = - μ g

Da rotacao temos

- R j x - f a t i = 2 5 M R 2 α   k

α = - 5 f a t 2 M R = - 5 μ g 2 R

Assim temos as equacoes de movimento

V C M t = v 0 + a C M t = J M s e n φ - μ g t i

ω t = ω 0 + α t = 5 2 R J M c o s φ - μ g t k

O instante que ela ta pedindo na questão e quando a roda para de girar

ω t = 0

t D = J μ M g c o s φ

Passo 4

Letra d)

Calma que já ta acabando, ultima letra

Resposta

Letra a)

Letra b)

ω = 5 J 2 M R cos ⁡ φ   k

v 0 = J M   s e n   φ

Letra c)

t D = J μ M g c o s φ

Letra d)

v c m t R = 5 J 7 M s e n φ - c o s φ i

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