Um disco maciço de madeira de massa M e raio R rola para baixo sem deslizar em um plano rugoso de comprimento D , inclinado de um ângulo θ em relação à horizontal. Utilize o sistema de coordenadas indicado.

  1. Desenhe as forças que agem no disco durante o rolamento. Desenho no plano, se existirem, seus pares ação-reação.
  2. Calcule o momento angular total do disco L → o , em relação à origem do sistema de coordenadas, quando ele estiver no meio do plano e com velocidade do seu centro de massa ao longo do plano v → c m = 1,0   m / s . Suponha que R = 0,1   m , M = 2,0   k g e D = 0,5   m . Desenhe os vetores r → , v → c m e ω → na figura abaixo.
  3. O momento angular do disco, em relação à origem do sistema de coordenadas, ao longo da descida no plano inclinado é ou não é conservado? Por que?

Passo 1

Letra a)

Ok, vamos fazer desenhinhos.

A força N → que atua na bola é a normal que o plano exerce sobre ela, enquanto P → é o peso da bola. Como o plano é rugoso, também temos uma força de atrito F → a t , realizada do plano sobre a bola (afinal, ela é devida à rugosidade do plano).

A normal é sempre perpendicular à superfície de contato, enquanto o peso está sempre em direção ao centro da Terra. Já a força de atrito se opõe ao movimento.

Já no plano, teremos os pares de reação que a bola exerce nele. Como apenas duas das forças que falamos antes são causadas pelo plano, apenas elas terão um par de reação ( F → a t e N → ).

Passo 2

Letra b)

O momento angular total de um sistema de partículas ao redor de um ponto O qualquer pode ser decomposto como:

L 0 → = L → C M + L → c o r p o

Onde L → C M é o momento angular do centro de massa com relação a O e L → c o r p o é o momento angular de todo o corpo em relação ao centro de massa.

O módulo do momento angular ao redor do centro de massa fica:

L c o r p o = I ω = M R 2 2 ω

Onde eu já substitui logo o momento de inércia de um disco.

Como o disco gira no sentido horário, o vetor velocidade angular vai ser no sentido negativo do eixo z (eixo de rotação).

ω → = ω - k ^

Então o momento angular em relação ao centro de massa ficaria:

L → c o r p o = M R 2 2 ω - k ^

Agora fica faltando o do centro de massa.

Passo 3

Neste caso, temos:

L → C M = r → C M × p → C M = r → C M × M v → C M = M r → C M × v → C M

No sistema de coordenadas dado, teremos que:

v → C M = v C M i ^ = 1,0   m / s   i ^

Precisamos então saber onde está o centro de massa. Para isso, vamos observar suas componentes.

Ao longo do eixo x , ele está na metade da rampa.

x C M = D 2

Ao longo do eixo y , ele está a uma “altura” igual ao raio do disco.

y C M = R

Como a origem está na frente do disco rodando, teremos:

r → C M = D 2 - i ^ + R j ^

Assim:

L → C M = M D 2 - i ^ + R j ^ × v C M i ^  

No produto vetorial, vale o que chamamos de “distributiva”:

D 2 - i ^ + R j ^ × v C M i ^ = D 2 v C M - i ^ × i ^ + R v C M j ^ × i ^

Como i ^ e - i ^ são paralelos (ou “antiparalelos”), o seu produto vetorial zera. Além disso, como j ^ é o vetor unitário ao longo do eixo y e i ^ é ao longo do eixo x , pela regra da mão direita temos:

j ^ × i ^ = - k ^

Agora, finalmente, juntando tudo:

L → C M = M R v C M - k ^

Passo 4

O momento angular total vai ser:

L 0 → = M R v C M - k ^ + M R 2 2 ω - k ^ = M R v C M + R ω 2 - k ^

Pela cinemática angular, temos que ω ⋅ R = v , e todos os pontos teram a velocidade linear do centro de massa, logo ω R = v C M . (Isso é porque é como se o centro de massa o dono do movimento linear).

L 0 → = M R v C M + v C M 2 - k ^ = 3 M R v C M 2 - k ^

Pelo enunciado:

  • R = 0,1   m
  • M = 2,0   K g
  • v C M = 1,0   m / s

L 0 → = 3 ⋅ 2 ⋅ 0,1 ⋅ 1 2 - k ^ = 0,3   K g . m 2 / s - k ^

Passo 5

Letra c)

Temos três forças que atuam no disco: P → , N → e F → a t .

  • N → é sempre perpendicular ao movimento do centro de massa e orientada ao longo do raio do disco. Logo, ele não causa torque.
  • P → também está orientada ao longo do raio do disco, e por isso não causa um torque.

Se ninguém gera torque, como o disco gira?! Bem, só sobrou F → a t , que de fato gera torque (atua na parte “debaixo” do disco orientado ao longo do movimento, no sentido oposto).

Temos então que o momento angular não se conserva devido ao atrito (afinal, o torque resultante é igual à variação do momento angular com o tempo).

τ → R e s = d L → d t

Resposta

Letra a)

Letra b)

L 0 → = 0,3   K g . m 2 / s - k ^

Letra c)

O momento angular não se conserva.

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