Considere o rotor de um helicóptero como sendo formado por três pás de comprimento   L e massa M , unidas em suas extremidades (a largura e a espessura são desprezíveis em relação a   L ). O eixo do rotor é perpendicular ao plano das pás (vide figura).

a) Calcule o momento de inércia de cada pá em relação ao eixo do rotor e o momento de inércia total do rotor.

b) Se M = 200 k g e L = 5 m , calcule o torque τ necessário para que a velocidade angular do rotor varie uniformemente de zero a 300   r p m em 5 segundos.

c) Qual a potência média transferida ao rotor nesse intervalo de tempo?

d) Considere que o momento de inércia da cabine do helicóptero em relação ao eixo do rotor seja de I c a b = 25000 k g . m 2 .Se não houvessem forças externas atuando sobre o conjunto cabine+rotor, qual seria a velocidade angular da cabine ao final do intervalo de tempo do item b?

Passo 1

a)

Bora lá! O momento de inércia a gente calcula pela formulitxa:

I = ∫ r 2 d m

Colocando uma pá da hélice no eixo x e calculando nesse caso, substituiremos o r por x, certo?

I = ∫ x 2 d m

Pra tudo ficar mais bonitinho, a gente pode fazer uma pequena alteração na integração. Do conceito de densidade linear, podemos dizer que λ = m x , ou seja, m = λ x e melhor ainda pra a gente d m = λ d x .

Substituindo esse resultado na integral, teremos:

I = ∫ x 2 λ d x

Ah, aí eu escrevi uma integral indefinida, mas na verdade sabemos os valores, o tamanho da pá vai da origem até o tamanho L, logo, reescrevendo a nossa integral, vai ficar:

I = ∫ 0 L x 2 λ d x = λ x 3 3 0 L = λ L 3 3

Mas, como vimos, o nosso λ = m x , ou melhor ainda, nesse caso em que o comprimento é L   e a massa é M, a gente vai escrever λ = M L . Por último, substituindo no nosso I ...

I = λ L 3 3 = M L L 3 3 = M L 2 3

Passo 2

Para achar o momento inércia total basta multiplicar tudo por 3, já que o momento de inércia de várias partes nada mais é que a soma do momento de inércia em relação a um mesmo ponto. Logo:

I T o t a l = 3 . M L 2 3 = M L 2

Passo 3

b)

Molezinha!

Aqui é só lembrar a relação:

τ = I . α

Então, vamos logo achar o valor numérico de I já que já temos os valores de M e L.

I T o t a l = M L 2 = 200.5 2 = 5000 k g . m 2

E o nosso α será nada mais nada menos que a nossa aceleração angular. Como o motor aumentou em ω = 300 r p m em 5 s já temos o nosso α também, certo?

Melhorando o nosso ω , ou melhor, passando para hertz, teremos:

ω = 300.2 π 60 = 10 π h z

E finalmente, para achar o nosso α , podemos utilizar aquela formula da cinemática:

ω = ω o + α t

α = ω t = 10 π 5 = 2 π   r a d / s 2

Agora é só jogar os valores mesmo!

τ = I . α = 5000.2 π = 10000 π N . m

Passo 4

c)

A potência a gente sabe que pode ser calculada por:

P = Δ E t

Nesse caso, o nosso tempo é 5s mesmo, então será: P = Δ E 5 .

Passo 5

Mas na rotação com aceleração, quais são as variações de energia?

Somente a energia cinética de rotação, dada por:

Δ E = E f i n a l - E i n i c i a l = I ω 2 2

P = I ω 2 2 t = 5000.100 π 2 2.5 = 50000 π 2 W

P = 50 π 2 k W

Passo 6

d)

O enunciado faz questão de falar que não tem força externa agindo. Se não tem força externa, não tem torque, e assim o momento angular se conserva. Bora lá!

L o = L f

Como o helicóptero é dividido em Cabine e rotor, vamos fazer assim:

I o r o t o r ω o r o t o r + I o c a b i n e ω o c a b i n e = I f r o t o r ω f r o t o r + I f c a b i n e ω f c a b i n e

Como o helicóptero sai do repouso, ω o r o t o r = ω o c a b i n e = 0 . Daí vai sobrar:

I f r o t o r ω f r o t o r = - I f c a b i n e ω f c a b i n e

Passo 7

Isolando o ω f c a b i n e que é quem a gente quer calcular vai sobrar:

ω f c a b i n e = - I f r o t o r ω f r o t o r I f c a b i n e

Agora é só substituir os valores e correr pro abraço!!

ω f c a b i n e = - 5000.10 π 25000 = - 2 π r a d / s

Resposta

  1. M L 2 3   e   M L 2
  2. τ = 10000 π N . m
  3. P = 50 π 2 k W
  4. - 2 π r a d / s

Exercícios de Livros Relacionados

Um homem está em pé em uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de 1,2 r e v / s ; seus braços estão abertos e ele segura um tijolo em cada mão. O momento de inércia do sistema
Na figura abaixo duas partinadoras com 50kg de massa, que se movem com uma velocidade escalar de 1,4m/s , se aproximam em trajetórias paralelas separadas por 3m . Uma das patinadoras carrega uma vara
Um patinador girando. Podemos considerar as mãos e os braços esticados para fora de um patinador que se prepara para girar como uma barra delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de gravidade (
Uma barra uniforme de 0,0300 kg e comprimento de 0,400 m gira em um plano horizontal em torno de um eixo fixo passando em seu centro e perpendicular à barra. Dois pequenos anéis, cada um com massa de
Um pequeno inseto de 10,0 g está pousado sobre uma das extremidades de uma barra delgada e uniforme, que está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal lisa. A outra extremidade da barra pivot