Uma barra homogênea de comprimento d = 3   m e massa M = 6   k g está inicialmente em repouso. A barra pode girar sem atrito em torno de um eixo que passa em sua extremidade superior e é perpendicular ao plano da página, conforme a figura ao lado. Uma partícula de massa m = 4   k g colide horizontalmente com a barra a uma velocidade v e a uma distância d / 2 do eixo de rotação. A colisão é perfeitamente inelástica e a partícula fica presa à barra após a colisão.

Dados: g   =   10   m / s 2 , momento de inércia de uma barra em torno de um eixo que passa pelo centro de massa I C M = M d 2 12 .

(a) Qual é o momento de inércia do conjunto partícula+barra em relação ao eixo de rotação no instante imediatamente após a colisão?

(b) Após a colisão, a energia mecânica do sistema é conservada e verifica-se que o conjunto partícula+barra atinge um ângulo máximo θ m a x = 90 ° . Obtenha a velocidade angular do conjunto imediatamente após a colisão.

(c) Supondo que a colisão entre a partícula e a barra ocorre durante um tempo infinitesimal, determine a velocidade do partícula imediatamente antes da colisão.

Passo 1

Na letra (a), queremos o momento de inércia do conjunto partícula+barra.

O momento de inércia do conjunto I será a soma do momento de inércia da partícula I p com o momento de inércia da barra I b , ambos com relação ao eixo de rotação:

I = I p + I b

Passo 2

O momento de inércia de uma partícula é dado por:

I = m r 2

A partícula colide com a barra à uma distância r igual à metade do comprimento da barra, então:

I p = m d 2 2

I p = m d 2 4

Passo 3

O momento de inércia de uma barra com relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro é:

I C M = M d 2 12

Entretanto, nosso eixo de rotação não está passando pelo centro da barra, ele está passando pela extremidade. Então, vamos usar o teorema dos eixos paralelos para achar esse momento de inércia:

I b = I C M + M h 2

Sendo a distância h entre os eixos igual à metade do comprimento da barra:

I b = M d 2 12 + M d 2 2

I b = M d 2 1 12 + 1 4

I b = M d 2 4 12

I b = M d 2 3

Passo 4

Assim, achamos o momento de inércia do conjunto:

I = I p + I b

I = m d 2 4 + M d 2 3

I = d 2 m 4 + M 3

Substituindo os valores, temos:

I = 3 2 4 4 + 6 3

I = 9 1 + 2

I = 27   k g . m 2

Passo 5

Na letra (b), queremos a velocidade angular imediatamente após a colisão, considerando que a energia mecânica do sistema se conserva.

O próprio enunciado já entregou o caminho...

Vamos usar a conservação da energia mecânica:

E M 0 = E M

Considerando que na situação inicial a energia potencial gravitacional é nula, teremos apenas a energia cinética de rotação do conjunto:

E M 0 = K R o t

E M 0 = I ω 2 2

Enquanto na situação final 90 ° temos apenas energia potencial gravitacional já que a barra se encontra parada:

E M = U g

E M = m + M g h

A altura h será a altura do centro de massa na situação final com relçao à situação inicial:

h = d 2

Então:

E M = m + M g d 2

E M = m + M g d 2

Passo 6

Voltando à conservação da energia, temos:

E M 0 = E M

I ω 2 2 = m + M g d 2

ω 2 = m + M g d I

Substituindo os valores:

ω 2 = 4 + 6 10 3 27

ω 2 = 300 27

ω 2 = 100 9

ω = 100 9

ω = 10 3   r a d / s

Passo 7

Na letra (c), queremos a velocidade da partícula imediatamente antes da colisão.

Geralmente quando temos uma colisão entre partículas, acabamos usando a conservação do momento linear, porém, nesse caso a barra está presa por um eixo que exerce força sobre o conjunto. Assim, o momento linear não se conserva.

Porém, podemos pensar em algo similar para rotações... o momento angular.

Como a barra gira em torno do eixo, essa força não exerce torque sobre o sistema, logo o momento angular se conserva:

L i = L f

Com essa equação, conseguimos a velocidade da partícula antes da colisão que aparece em L i .

Passo 8

Inicialmente, apenas a partícula se mexe, logo o momento angular do sistema será dado pelo momento angular de uma partícula:

L → i = r → × p →

L → i = r → × m v →

L → i = m r → × v →

Como esses vetores são perpendiculares, temos que o módulo do momento angular L i é:

L i = m r v

L i = m d 2 v

Já o momento angular final L f será dado pela expressão do conjunto em rotação:

L f = I ω

Passo 9

Voltando à nossa expressão, temos:

L i = L f

m d 2 v = I ω

v = 2 I ω m d

Substituindo os valores, temos:

v = 2 27 10 3 4 3

v = 2 3 10 4

v = 30 2

v = 15   m / s

Resposta

(a)

I = 27   k g . m 2

(b)

ω = 10 3   r a d / s

(c)

v = 15   m / s

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