Na figura abaixo observa-se uma barra fina uniforme no plano horizontal x z de massa desprezível e comprimento l . Ela está inicialmente em repouso e presa a um eixo que passa pelo seu centro de massa e aponta na direção y . Este eixo pode girar livremente. Duas partículas de massa 𝑚 e 2𝑚 se movimentam paralelamente com velocidade 𝑣 na direção ( - k → ) e vão se chocar simultaneamente com a barra nas suas extremidades, como mostra a figura. Após a colisão as partículas ficam grudadas na barra.

O módulo da velocidade angular do sistema logo após a colisão é igual a:

(a) 2 v 3 l

(b) v l

(c) 3 v l

(d) v 3 l

(e) 𝐴 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠ã𝑜 é 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠ã𝑜 é 𝑧𝑒𝑟𝑜.

Passo 1

Vamos considerar o sistema barra-partículas. Não tem nenhum torque externo agindo nele, então o momento angular se conserva! O momento angular inicial (antes da colisão) é igual ao momento angular final (depois da colisão):

L → i = L → f

Lembrando que a fórmula geral do momento angular é:

L → = r → × m v →

ou

L → = I ω →

Passo 2

Vamos dar uma olhada no momento angular total inicial!

A barra tem massa desprezível, então ela não tem momento angular. Portanto, o momento angular total do sistema é a soma dos momentos angulares das 2 partículas!

Cada uma delas tem seu vetor posição, sua massa e seu vetor velocidade, então é melhor tratá-las separadamente. Vou chamar a partícula de cima (de massa m ) de partícula 1 e a outra, de massa 2 m , de partícula 2, beleza?

Passo 3

Vamos começar pela partícula 1!

Ela se choca na parte de cima da barra, a uma distância l 2 do centro da barra (que é a origem), no sentido negativo do eixo x . Então sendo i →   o vetor unitário do eixo x , temos

r 1 → i = - l 2 i →

E pelo enunciado, sabemos que a massa da partícula 1 é m e que seu vetor velocidade é - v k → .

Ou seja o momento linear inicial da partícula 1 é:

L 1 → i = - l 2 i → × - m v k →

⇒ L 1 → i = m v l 2 i → × k → = m v l 2 - j →

⇒ L 1 → i = - m v l 2 j →

Passo 4

Vamos usar o mesmo raciocínio pra partícula 2! Ela também se choca a uma distância l 2 do centro de massa, mas é no sentido positivo do eixo x ! Ou seja,

r 2 → i = l 2 i →

A massa da partícula 2 é 2 m e seu vetor velocidade é - v k → . Portanto, seu momento linear inicial é:

L 2 → i = l 2 i → × - 2 m v k →

⇒ L 2 → i = - 2 m v l 2 i → × k → = - m v l - j →

⇒ L 2 → i = m v l j →

Passo 5

Isso significa que o momento linear inicial do sistema é:

L → i = L 1 → i + L 2 → i = - m v l 2 j → + m v l j →

⇒ L → i = m v l 2 j →

Então o momento angular final do sistema tem que dar isso também!

Passo 6

Depois da colisão a gente não sabe mais a velocidade das partículas, só é dito que elas ficam grudadas na barra. Então pra calcular o momento angular é melhor usar a fórmula

L → = I ω → ,

até porque a gente quer achar o módulo da velocidade angular ω .

Passo 7

Então vamos calcular o momento de inércia da barra, com as partículas grudadas nas extremidades!

Na verdade isso vai ser tranquilo porque a barra tem massa desprezível. Então só precisamos considerar as massas das partículas. E o momento de inércia de uma partícula em relação a um eixo é:

I = m a s s a ⋅ d i s t â n c i a   a o   e i x o 2

A partícula 1 tem massa m , a partícula 2 tem massa 2 m e ambas estão a uma distância l 2 do eixo, portanto:

I b a r r a = m l 2 2 + 2 m l 2 2 = 3 m l 2 2 = 3 4 m l 2

Ou seja, o momento angular final do sistema é:

L f → = I ω → = 3 4 m l 2 ω →

Passo 8

Portanto, pela conservação do momento angular total:

L → i = L f →

⇒ m v l 2 j → = 3 4 m l 2 ω →

Vamos dar uma ajeitada nisso pra achar o ω → ! Cortando m l 2 dos 2 lados, fica:

v j → = 3 2 l ω →

⇒ 2 v 3 l j → = ω →

E ele pediu o módulo da velocidade angular, então:

ω = 2 v 3 l

Resposta

Alternativa (a)

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