Uma haste rígida de comprimento d e massa m está deitada sobre uma mesa sem atrito e articulada num ponto P em uma de suas extremidades. Um objeto pontual de massa m , vindo da esquerda e movendo com velocidade v i , colide com a haste elasticamente no meio dela. O objeto pontual ricocheteia e volta com uma velocidade v f . Depois da colisão, a haste passa a girar em torno do ponto P com uma velocidade ω f . O momento de inércia da haste para um eixo que passa pelo seu centro de massa e paralelo ao eixo articulado é I c m = 1 12 m d 2 . Descubra a velocidade angular ω f em termos das variáveis apresentadas no problema.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão temos uma haste rígida que está colocada sobre uma mesa plana. Essa haste é articulada em uma de suas extremidades, no ponto P . Daí, um objeto colide elasticamente com essa haste justamente na metade do seu comprimento.

Depois da colisão, a haste passa a girar em torno do ponto P .

Precisamos calcular a velocidade angular da haste após a colisão.

Tranquilo até aqui?

Pra fazer isso, podemos utilizar a ideia da conservação do momento angular, já que não há torque externo atuando no sistema haste + partícula.

Show! Então, vamos fazer isso 😊

Passo 2

Antes da colisão, o objeto pontual está se movendo com uma velocidade v i . Assim, se pegarmos um instante imediatamente antes da colisão. Nesse momento, a partícula vai estar a uma distância d / 2 do ponto P . Logo:

L p = m ⋅ v i ⋅ d 2

Esse é o momento angular do objeto pontual. Já para a haste, temos que genericamente o momento angular vale:

L h a s t e = I ⋅ ω

Porém, como a haste inicialmente está em repouso, temos ω = 0 . Assim:

L h a s t e = 0

Portanto, o momento angular total do sistema vale:

L t o t a l = m v i d 2

Massa!

Passo 3

Agora vamos analisar o momento angular após a colisão. Num instante imediatamente após a colisão, teremos o objeto com uma velocidade v f e a uma distância ainda igual a d 2 do ponto P . Porém, após a colisão, a “rotação” do objeto é no sentido oposto ao do inicial.

Assim:

L p = - m ⋅ v f ⋅ d 2

Beleza!

Já a haste terá um momento angular valendo:

L h a s t e = I ⋅ ω f

Mas, quem é esse momento de inércia I ?

É o momento de inércia com relação ao eixo perpendicular que passa pelo ponto P . Assim, precisamos utilizar o teorema dos eixos paralelos pra calcular I .

I e = I O + m r 2

onde I e é momento de inércia com relação ao eixo de interesse, I o o momento de inércia em relação ao CM e r a distância entre os eixos.

Assim:

I = m d 2 12 + m d 2 2

∴ I = m d 2 3

Substituindo no momento angular da haste:

L h a s t e = m d 2 3 ⋅ ω f

Juntando as duas informações, vamos ter que:

L t o t a l = m d 2 ω f 3 - m v f d 2

Pela conservação do momento angular, podemos escrever que:

m v i d 2 = m d 2 ω f 3 - m v f d 2

Como o nosso objetivo é calcular ω f , vamos isolá-la na equação acima:

v i + v f = 2 d ω f 3

∴ ω f = 3 v i + v f 2 d

Prontinho! Valeu galerinha 😊

Resposta

ω f = 3 v i + v f 2 d

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