Uma haste fina de massa M   =   30   g   e comprimento d   =   30   c m , inicialmente em repouso, pode girar horizontalmente sobre uma mesa, sem atrito, em torno do ponto O, como mostra a figura. Um pedaço de massa de vidraceiro de massa m   =   10   g , com velocidade v   =   3,0   m / s , colide com a haste em uma das extremidades, permanecendo grudado nela.

  1. Qual é o momento angular do sistema haste+massa imediatamente antes da colisão?
  2. Qual é a velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão?
  3. Qual é a razão entre a energia cinética do sistema haste+massa depois e antes da colisão?

Dado: O momento de inércia de uma haste de massa M e comprimento d em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é I c m = M d 2 12 .

Passo 1

a):

O momento angular será o momento angular que a partícula que tava caindo tinha. Isso é:

L i = m v d = 10 x 10 - 3 . 3.30 x 10 - 2 = 9 x 10 - 3 k g . m 2 / s

Ou:

Como:

v = ω d

Então:

L i = m ω d 2

Passo 2

b):

Pra achar isso vamos usar a conservação de momento angular, isso é:

L i = L f

Bom:

L f = I f ω f

O momento de inercia final vai ser a soma do momento de inercia da barra em relação ao pino e o momento de inércia da partícula.

Como a barra não está girando ao redor do centro de massa, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I b a r r a = I c m + M d 2 2 = M d 2 12 + M d 2 4 = M d 2 3

Então:

I f = M d 2 3 + m d 2 = M + 3 m d 2 3

Então:

L f = M + 3 m d 2 3 ω f

Assim:

L i = L f

9 x 10 - 3 = M + 3 m d 2 3 ω f

9 x 10 - 3 = 30 + 30 10 - 3 3 . 30 x 10 - 2 2 ω f

9 x 10 - 3 = 20 x 10 - 3 . 9 x 10 - 2 ω f → ω f = 1 20 x 10 - 2 = 5   r a d / s

Passo 3

c):

A energia cinética antes é dada por:

E i = I ω 2 2

I i = m d 2

E:

ω = v d = 3 30 x 10 - 2 = 10   r a d / s

E:

I i = m d 2 = 10 x 10 - 3 30 x 10 - 2 2 = 90 x 10 - 5 = 9 x 10 - 4

Então:

E i = 9 x 10 - 4 100 2 = 4,5 x 10 - 2

E a energia cinética final é:

E f = I f ω f 2

Com:

I f = M + 3 m 3 d 2 = 30 + 30 x 10 - 3 3 . 30 x 10 - 2 2 = 20 x 10 - 3 . 9 x 10 - 2 = 18 x 10 - 4

E como:

ω f = 5   r a d / s

Então:

E f = 18 x 10 - 4 25 2 = 225 x 10 - 4 = 2,25 x 10 - 2

Então:

E f E i = 2,25 x 10 - 2 4,5 x 10 - 2 = 0,5 = 50 %

Resposta

a):

L i = 9 x 10 - 3 k g . m 2 / s

b):

ω f = 5   r a d / s

c):

E f E i = 0,5 = 50 %

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