Um haltere é formado por duas partículas de massa m (1 e 2) ligadas por uma haste rígida, de massa desprezível e comprimento l . O haltere pode deslizar sem atrito sobre uma mesa. Uma partícula 3 de massa m , com velocidade inicial v o (perpendicular à haste do haltere) colide com uma das partículas, como mostrado na figura.Sendo a colisão perfeitamente elástica, determine

a) Imediatamente após a colisão, a velocidade linear das partículas 2 e 3 (indicando a direção e sentido).

b) O impulso sofrido pela partícula 2.

c) Após a colisão, qual a velocidade linear do centro de massa do haltere?

Passo 1

a)

Quando nessa a vamos só considerar as massas de 2   e   3 como uma colisão elástica normal, como aquelas que a gente ta cansado de fazer. Saca só!

Pela conservação do momento linear, teremos:

p i = p f

m v o = m v 1 + m v 2

v o - v 1 = v 2

Passo 2

Como a colisão é elástica, podemos usar a conservação da energia cinética. Na forma...

m v o 2 2 = m v 1 2 2 + m v 2 2 2

v o 2 = v 1 ² + v 2 2

v o ² - v 1 2 = v 2 ²

Dividindo essa equação pela equação que achamos no Passo 1, teremos:

v o ² - v 1 2 v o - v 1 = v 2 ² v 2

Ah! Só pra lembrar. v o ² - v 1 2 = v o + v 1 [ v o - v 1 ] . Assim...

v o + v 1 v o - v 1 v o - v 1 = v 2 2 v 2

v o + v 1 = v 2

Passo 3

Agora é só fazer o sistema linear com as equações lineares das velocidades que achamos. São elas:

v o + v 1 = v 2

v o - v 1 = v 2

Somando as equações, teremos:

2 v o = 2 v 2

v 2 = v o

v 1 = 0

:D

Passo 4

b)

Pelo Teorema do Impulso-Variação do Momento Linear, teremos:

I = ∆ p

I = p f - p i = p f - 0 = p f

Como p = m v , teremos:

I = m v o

Passo 5

c)

Agora é só fazer a mesma coisa da “a” só com com o “sistema haltere”, que pesa 2m.

Pela conservação do momento linear, teremos:

p i = p f

m v o = 2 m v H

Sendo v H a velocidade do centro de massa do haltere...

v H = v o 2

Passo 6

d)

Após a colisão, a rotação vai ser da seguinte forma:

Como não tem nenhum torque agindo sobre o sistema, o momento angular é conservado. Daí, teremos:

L i = L f

Como L i = m v o l 2 e L f = I ω , vai ficar...

m v o l 2 = I ω

Passo 7

O nosso I pode ser calculado por:

I = ∑ m r 2 = m l 2 2 + m l 2 2 = m l 2 2

m v o l 2 = m l 2 2 ω

v o l = l ² ω

ω = v o l

Resposta

  1. v 2 = v o   ,   v 1 = 0
  2. I = m v o
  3. v H = v o 2

d) ω = v o l

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