A figura mostra uma haste homogênea vertical articulada por um parafuso P , preso em sua extremidade superior e que oferece atrito desprezível. A haste tem massa M = 3,0   k g e comprimento d = 1,0   m . Uma bola de neve de massa m = 600   g viaja em direção à haste e vai atingi-la exatamente em seu centro. No momento da colisão da bola de neve é dada pelo vetor v → = 11,5   m / s   ( i ^ ) (ver figura para o sistema de coordenadas).

Como resultado da colisão, a bola se parte em três pedaços de igual massa m 3 . O pedaço 1 se gruda à haste, o pedaço 2 se solta, caindo inicialmente com velocidade v → 2 = - 0,3   m / s   ( j ^ ) , e o pedaço 3 sai com velocidade v ^ 3 = - 2,3   m / s ( i ^ ) .

a ) Calcule, em relação ao ponto P, o vetor momento angular L A → total do sistema antes da colisão, sabendo que a haste se encontra inicialmente em repouso. Responda ainda se haverá ou não conservação do momento angular total do sistema na colisão, justificando cuidadosamente.

b ) Calcule, em relação ao ponto P, os vetores momentos angulares L → 2 e L → 3 dos pedaços 2 e 3 logo após a colisão.

c ) Determine o momento de inércia do conjunto haste + pedaço 1 .

d ) Calcule a velocidade angular ω da haste após a colisão e também a energia cinética de rotação do conjunto haste + pedaço 1 .

Passo 1

a )

Para calcular o momento angular total do sistema antes, vamos relembrar a definição de momento , L → = r → × p → , agora, mão na massa!

Para o sistema, temos:

L A → = L → h a s t e + L → b o l a

L A → = 0 + r → × p →

O momento angular da haste é zero, pois a força peso atua na direção do eixo, portanto, não produz torque.

L A → = 0,5 ( - j ^ ) × ( 0,6 .   11,5 ) ( i ^ )

L A → = 3,45   k g . m 2 / s ( k ^ )

Passo 2

b )

Agora que já lembramos da definição de momento angular, podemos calcular o momento angular dos pedaços após a colisão, se liga!

Para o pedaço 2 , temos:

L → 2 = r → × ( m 3 . v → 2 )

L → 2 = 0,5 ( - j ^ ) × ( 0,2   .   0,3 ) ( - j ^ )

L → 2 = 0

O produto vetorial dá zero pois os vetores apontam na mesma direção!

Passo 3

Para o pedaço 3 , temos:

L → 3 = r → × ( m 3 . v → 3 )

L → 3 = 0,5 ( - j ^ ) × ( 0,2   .   2,3   m / s ( - i ^ ) )

L → 3 = 0,23   k g   .   m 2 / s ( - k ^ )

A direção e o sentido do vetor podem ser determinados pela regra da mão direita!

Passo 4

c )

Agora vamos determinar o momento de inércia do conjunto:

I = I h a s t e + I 1

I = M . d 2 3 + m 3 . d 2 2

I = 3,0 .   1,0 2 3 + 0,2 . 1,0 2 2

I = 1,05   k g . m 2

Passo 5

Para calcular a velocidade angular do conjunto depois da colisão, podemos recorrer à conservação do momento angular, vamos lá!

L → a n t e s = L → d e p o i s

L → a n t e s = L → 2 + L → 3 + L → h a s t e + 1

Como calculamos o momento angular antes da colisão no item a, e os momentos angulares dos pedaços 2 e 3 , e só substiruir!

3,45 = 0 - 0,23 + L → h a s t e + 1

L → h a s t e + 1 = 3,68

Sabemos, que como o conjunto haste + 1 é um corpo rígido, temos:

I . ω = 3,68

Como já calculamos o momento de inércia do conjunto, fica:

ω = 3,68 1,05

ω = 3,50   r a d / s

A energia cinética do conjunto haste + pedaço 1 vai ser

K = 1 2 I h a s t e + 1 ω 2

Já calculamos tudo isso! Agora é só jogar os valores

K = 1 2 1,05 × 3,5 2

K = 6,43   J

Resposta

a)

L A → = 3,45   k g . m 2 / s ( k ^ )

b)

L → 2 = 0

L → 3 = 0,23   k g   .   m 2 / s ( - k ^ )

c)

I = 1,05   k g . m 2

d)

ω = 3,50   r a d / s K = 6,43   J

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