Uma barra homogênea de massa M e comprimento h pode girar em torno de um eixo fixo (ponto O) em uma de suas extremidades. Uma bola de massa de modelar, com massa m e velocidade v , atinge a barra a uma distância d do eixo e fica grudada na barra. Dado: O momento de inércia e uma haste de massa M e comprimento h em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é I .

Momento de inércia de uma barra: I c m = M h 2 12 .

  1. Que grandezas são conservadas durante a colisão? Justifique sua resposta.
  2. Qual o momento de inércia do sistema bola+barra em relação ao ponto O ?
  3. Qual o momento angular do sistema após a colisão em relação ao ponto O ?
  4. Qual a razão entre a energia final e a energia inicial do sistema?

Passo 1

a):

Bom, galera, quando há uma colisão, qual a primeira coisa que você pensa que sempre se conserva?

Isso mesmo, o momento linear!!!

Mas olha só, você também pode ver isso como um “acoplamento”. Afinal de contas, a bolinha vai bater ali na barra e as duas vão passar a girar juntas.

Isso nos leva a pensar que o outro momento também se conserva, isso é, o momento angular.

Então são essas duas coisas que se conservam.

AAAAAH, mas e a energia mecânica?

Bom, essa não se conserva, basta lembrar que numa colisão do tipo bate-gruda, também chamada de inelástica, há perda de energia cinética.

Então:

L → = c t e

p → = c t e

Passo 2

b):

Bom, vamos primeiro calcular o momento de inércia da barra em relação ao ponto O , usando o teorema dos eixos paralelos:

I o = I c m + M d 2

Quem é esse d ?

É a distância do centro de massa da barra até o ponto O ,   então:

d = h 2

Assim:

I o = M h 2 12 + M h 2 2 = M h 2 3

Beleza?

E qual é o momento de inércia da massinha em relação ao ponto O ?

I m a s s i n h a = m d 2

Onde d é a distancia do centro de massa da massinha até o centro O :

Assim:

I t o t a l = M h 2 3 + m d 2

I t o t a l = M h 2 3 + m d 2

Passo 3

c):

Ai a gente tem que usar a conservação do momento angular que diz:

I i ω i = I f ω f

Ou:

L i → = L f →

Beleza?

Bom, como a gente pode ver, é só calcular o momento inicial. O momento inicial é dado pela rotação da massinha, isso é:

L i → = d → × m v →

Mas como v é perpendicular a d , pelo produto vetorial:

L → = m d → v → s e n θ = m d → v →

Já que:

s e n θ = s e n π 2 = 1

Show?

Então o módulo do momento inicial é:

L i = m v d

Voltando pros vetores:

L → = L z ^

Então:

L i → = m v d z ^

E como o final é igual a isso:

L f → = L i → = m v d z ^

Passo 4

d):

Bom, galera, antes da colisão, havia apenas energia cinética de translação da massinha. Após a colisão, existe apenas a energia cinética de rotação do conjunto massa barra.

Assim:

E i = K i = m v 2 2

E:

E f = K f = I f ω f 2 2

Beleza?

Como calcular a energia inicial é tranquilo, já que todos os dados que estão lá são conhecidos, a gente só precisa descobrir a energia final. Como já sabemos I f , basta descobrir ω f .

Ai a gente pode usar a relação:

L i = L f = I f ω f

Como:

L i = m v d = I f ω f

E:

I f = M h 2 3 + m d 2

Então:

m v d = M h 2 3 + m d 2 . ω f → ω f = m v d M h 2 3 + m d 2

Assim:

E f = I f ω f 2 2 = I f ω f ω f 2

Substituindo o valor de I f ω f ,   e de ω f :

E f = 1 2 ( m v d ) m v d M h 2 3 + m d 2 = m 2 v 2 d 2 2 M h 2 3 + m d 2

Assim:

E i E f = m v 2 2 m 2 v 2 d 2 2 M h 2 3 + m d 2 = m v 2 2 2 M h 2 3 + m d 2 m 2 v 2 d 2 = M h 2 3 + m d 2 m d 2 = 1 3 M h 2 m d 2 + 1

Assim:

E i E f = 1 3 M h 2 m d 2 + 1

O que faz sentido! O lado direito da equação é maior que 1

E i E f > 1 → E i > E f

Ou seja, houve perda de energia na colisão!

Resposta

a):

L → = c t e

p → = c t e

b):

I t o t a l = M h 2 3 + m d 2

c):

L f → = L i → = m v d z ^

d):

E i E f = 1 3 M h 2 m d 2 + 1

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