Uma esfera maciça homogênea, de massa M E = 0,400   k g e raio R E = 5,00   c m , está fixada por sua periferia à extremidade de uma barra fina homogênea, de massa M B = 0,600   k g e comprimento l = 30,0   c m . O conjunto barra-esfera está disposta sobre uma mesa horizontal sem atrito, de modo que pode girar livremente em torno de A . Considere as seguintes expressões para os momentos de inércia em torno dos centros de massa: I e s f e r a = 2 5 M E R 2 e I b a r r a = 1 12 M B l 2 .

a) Calcule, em k g   m 2 , o momento de inércia I B E do conjunto barra-esfera em relação ao ponto A .

O conjunto barra-esfera, inicialmente em repouso, recebe o impacto de uma bala de massa m que se dirige perpendicularmente à barra com velocidade escalar v . Como resultado deste impacto de duração muito curta, a bala acaba se alojando exatamente no centro da esfera, e o novo conjunto, barra-esfera-bala, passa a rodar em torno de A .

b) Julgue cada afirmativa como Verdadeira ou Falsa e depois justifique sua resposta.

(i) A energia cinética total do sistema barra-esfera-bala é conservada durante a colisão.

(ii) O momento linear total do sistema barra-esfera-bala é conservado durante a colisão.

(iii) O momento angular total do sistema barra-esfera-bala é conservado durante a colisão.

Considere a massa da bala m = 5,00   g e suponha que o valor encontrado no item (a) para o momento de inércia do conjunto barra-esfera tenha sido I B E = 0,0400   k g   m 2 .

c) Calcule a velocidade escalar v que a bala possuía imediatamente antes do impacto sabendo que, imediatamente após o impacto, o sistema barra-esfera-bala gira ao redor de A com velocidade angular final ω F = 11,0   r a d / s .

Passo 1

Fala galerinha, bora resolver mais um probleminha?

Para começar temos que achar o momento de inércia do sistema barra-esfera com relação ao ponto A . Vamos olhar primeiro para a barra: sabemos o momento de inércia com relação ao centro de massa, mas precisamos do momento de inércia com relação ao ponto A . Para isso, usamos o teorema dos eixos paralelos:

I B = I c m + M B d 2 ,

onde d é a distância da barra ao ponto A . Portanto,

I B = M B l 2 12 + M B l 2 2 = M B l 2 3

Assim,

I B = 0,6 ⋅ 0,3 2 3 = 0,018   k g   m 2

Já para a esfera, temos que fazer o mesmo, porém agora d = l + R E , já que a distância do centro da esfera ao ponto A deve considerar o tamanho da barra e o raio da esfera:

I E = 2 5 M E R E 2 + M E l + R E 2

Substituindo os números:

I E = 2 5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,05 2 + 0,4 ⋅ 0,3 + 0,05 2 = 0,0494   k g   m 2

Para achar o momento de inércia do sistema, basta somar os dois:

I = 0,018 + 0,0494 → I = 0,0674   k g   m 2

Passo 2

Para o resto do problema temos que considerar a colisão de uma bola com a esfera, de modo que a bala fica alojada na esfera e o sistema barra-esfera-bala se move em conjunto.

No item (b) temos que fazer considerações sobre a conservação da energia cinética, do momento linear e do momento angular.

A afirmativa (i) está errada pois como a bala fica alojada na esfera, a colisão é inelástica, de modo que parte da energia cinética é perdida.

A afirmativa (ii) também está errada pois o momento só seria conservado se a resultante de forças externas sobre o sistema fosse nula. Porém o pino exerce uma força na barra e isso impede o sistema de manter o movimento de translação inicial. Logo, o momento linear não se conserva!

Por fim, a afirmativa (iii) é verdadeira! Apesar de o pino exercer uma força externa sobre o sistema, essa força é aplicada exatamente no ponto A , de modo que o torque com relação a esse ponto é nulo. Como o torque externo sobre o sistema é nulo, o momento angular com relação ao ponto A se conserva.

Passo 3

Para terminar, vamos ao item (c)! Vimos no passo anterior que o momento angular se conserva, de modo que

L i = L f

Imediatamente antes da colisão, o momento angular do sistema é devido apenas a bala:

L i = m l + R E v

Após a colisão, o momento angular é dado por

L f = I t o t a l   ω F

Aqui temos que tomar um cuidado, I t o t a l é o momento de inércia total, considerando barra-esfera e a bala, de modo que

I t o t a l = I + m R E + l 2

Nessa expressão, I é o momento de inércia do item (a). Porém o exercício pediu para gente usar I = 0,0400   k g   m 2 para facilitar um pouco as contas.

Igualando os momentos angulares:

m   l + R E   v = I + m R E + l 2 ω F

Logo,

v = I + m R E + l 2 ω F m l + R E

Agora é só substituir e fazer conta:

v = 0,0400 + 0,005 ⋅ 0,05 + 0,3 2 ⋅ 11 0,005 ⋅ ( 0,05 + 0,3 )

Assim,

v = 255   m / s

Com isso fechamos o problema 😉!

Resposta

I = 0,0674   k g   m 2

Apenas (iii) é verdadeira.

v = 255   m / s

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