Um besouro encontra-se na borda de um disco muito leve que gira como um carrossel. Se o besouro se deslocar para o centro do disco, assinale qual é a afirmativa verdadeira em relação ao disco e ao sistema (disco + besouro):

a) A velocidade angular do disco aumenta e o momento de inércia do sistema aumenta.

b) A velocidade angular do disco diminui e o momento de inércia do sistema aumenta.

c) A velocidade angular do disco diminui e o momento de inércia do sistema diminui.

d) A velocidade angular do disco aumenta e o momento de inércia do sistema diminui.

Passo 1

Temos uma rotação, então é bom começar deixando claro qual é o eixo de rotação. O enunciado diz que o disco “gira como um carrossel”.

Que eu saiba isso significa que o eixo de rotação fica no meio do disco! Dito isso, vamos continuar :)

Passo 2

Vamos dar uma olhada no que acontece com o momento de inércia do sistema quando o besouro se desloca.

O momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia do disco e do besouro, em relação ao eixo de rotação.

O disco não se mexe então seu momento de inércia é constante. Por isso só temos que determinar se o momento de inércia do besouro aumenta ou diminui depois dele se mexer, show?

Passo 3

O momento de inércia I b do besouro em relação ao eixo de rotação é dado por:

I b = m b r 2 ,

m b sendo a massa do besouro e r a sua distância ao eixo.

Inicialmente, o besouro está na borda do disco, então

r > 0 ⇒ r 2 > 0 ⇒ I b i > 0 ,

I b i sendo o momento de inércia inicial do besouro.

Passo 4

Mas depois dele se deslocar, ele vai justamente no centro do disco, em cima do eixo de rotação, então seu momento de inércia final é zero:

r = 0 ⇒ I b f = 0

⇒ I b f < I b i

Portanto, o momento de inércia do besouro diminui e consequentemente, o momento de inércia do sistema diminui:

I f < I i

Passo 5

Ainda falta a velocidade angular!

Repare que não tem nenhuma força externa realizando torque em relação ao eixo de rotação do nosso sistema disco-besouro! E sabemos que se a soma dos torques externos é zero, o momento angular se conserva:

L i = L f ,

L i sendo o módulo do momento angular inicial e L f o módulo do momento angular final, depois do besouro mexer.

Passo 6

E o módulo do momento angular é dado por:

L = I ω

Logo,

I i ω i = I f ω f

Dividindo por I f dos 2 lados, fica:

I i I f ω i = ω f

Mas pera, a gente viu que

I i > I f

E como ambos são positivos, concluímos que

I i I f > 1

⇒ ω f > ω i

Portanto, a velocidade angular do sistema aumenta.

Faz sentido, porque o momento angular é o produto de I com ω . Então se I diminui, pro momento angular se conservar, ω tem que aumentar!

Resposta

Alternativa (d)

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