Um pequeno bloco de massa m   =   250   g gira sobre uma superfície horizontal sem atrito e faz uma trajetória circular de raio r   =   80,0   c m com velocidade tangencial v   =   1,40   m / s . O bloco está preso a uma corda de massa desprezível que passa por um furo no centro da superfície como mostra a figura. Num dado momento a corda é cuidadosamente puxada para baixo reduzindo o raio da trajetória do bloco para r ' =   40,0   c m . Considere o bloco como uma partícula e responda:

(a) Durante o intervalo de tempo em que a corda é puxada, o momento angular do bloco em torno do furo é conservado? Justifique.

(b) Qual é a nova velocidade angular do bloco após a redução do raio da trajetória? Determine a variação de sua energia cinética.

(c) Determine a expressão literal que fornece o módulo da tensão no fio em função da massa m , do raio r e do momento angular L em torno do furo.

(d) Seja a tensão máxima que o fio suporta igual a 30,0   N . Determine o raio da trajetória que o bloco percorre e a sua velocidade tangencial quando o fio estiver prestes a arrebentar.

Passo 1

(a) Sim, o somatório dos torques é zero. As forças que atuam no bloco são: Tensão, Peso e Normal. O torque em torno do furo das forças Normal e Peso se anulam. A Tensão não realiza torque, já que seu vetor aponta pro ponto de referência.

Σ τ → e x t = d L → d t = 0

O que nos dá L constante.

Passo 2

b) Como provamos que o L se mantém constante:

L a n t e s = L d e p o i s

Tratando o bloco como uma partícula: I = m r 2

I a n t e s W a n t e s = I d e p o i s W d e p o i s → W d e p o i s = I a n t e s W a n t e s I d e p o i s

W d e p o i s = [ m r 2 ( v / r ) ] / ( m r ' 2 ) = r v / r ' 2

W d e p o i s = 7,0 r a d / s

Agora temos todos os dados para ter a variação de energia cinética:

D k = k f - k i = 1 2 I d e p o i s W d e p o i s 2 - 1 2 I a n t e s W a n t e s 2 = 1 2 m v d e p o i s 2 - 1 2 m v a n t e s 2

D k = 0,980 - 0,245 = 0,735 J

Passo 3

(c) F r e s u l t a n t e = F c e n t r í p e t a → T = m v 2 r

Mas como L = m v r , temos:

T = L 2 / m r 3

Passo 4

(d)

Quando fazemos a tensão ser máxima, o raio mínimo aparece na seguinte expressão:

r m i n 3 = L 2 m T m á x

Substituindo os valores:

r m i n 3 = m r 2 v 2 / T m á x

r m i n = 0,250.080 2 . 1,40 2 30,0 1 3 =   0,22 m

Para achar a velocidade, vamos usar a conservação do momento angular:

r v = r m i n v m á x

Logo:

v m à x = ( 0,80.1,40 ) / 0,22 = 5,10 m / s

Resposta

a) Sim

b) W d e p o i s = 7,0 r a d / s ; D k = 0,735   J

c) T = L 2 / m r 3

d) r m í n = 0,22   m ; v m á x = 5,1   m / s

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