Um disco de massa M e raio R está apoiado sobre uma superfície plana. Um fio inextensível, de massa desprezível, encontra-se enrolado ao redor do disco, preso a um eixo vertical. Um corpo de massa m é preso a uma das extremidades do fio, que passa por uma pequena polia de massa desprezível.

Supondo que o sistema é solto a partir do repouso, e que o disco gira sem atrito, determine:

(a) A magnitude da força de tração

(b) A magnitude, direção e sentido do momento angular do disco em relação ao seu centro em um instante de tempo t .

(c) Imagine agora que passado um intervalo de tempo Δ t o fio perde contato com o disco. Após o fio perder contato, um weta (o maior inseto do mundo), com massa m w , pousa exatamente no centro do disco. Se o inseto passa a se deslocar ao longo do raio do disco com velocidade constante v w , qual é o módulo da velocidade angular do disco quando o inseto se encontra a uma distância r em relação ao centro do disco?

Passo 1

Parte da dificuldade é entender o que está acontecendo...

Temos um disco de massa M sobre uma mesa. Esse disco tem um fio enrolado sobre ele e esse fio está sendo puxado por um corpo de massa m .

Resumindo a situação, o que acontece é isso aqui:

Passo 2

Na letra (a), queremos a tração no fio.

Se não tivesse nenhuma resistênica, o bloquinho desceria com a aceleração da gravidade.

Porém, como o movimento do bloquinho faz o disco entrar em rotação, quanto mais “difícil de entrar em rotação” esse disco for, mais tensionado esse cabo vai estar.

Essa dificuldade de entrar em rotação é o momento de inércia do disco I , quanto maior esse I , maior a força de tração.

Para achar essa força de tração, devemos analisar as forças tanto sobre o disco quanto sobre o bloquinho.

Passo 3

Começaremos com o bloquinho, que é mais simples:

Como o bloquinho está descendo, a força resultante é na direção da força peso:

F R = m a

P - T = m a

m g - T = m a

Agora, vamos ao disco. Ele também terá uma força peso e uma normal na vertical, elas estão aplicadas no centro de massa do disco e vão se cancelar.

Porém, estamos mais interessados nas forças horizontais do disco (olhando de cima):

Como o centro de massa do disco se mantém em repouso, as forças ainda se cancelam:

T - N = 0

T = N

Entretanto, a força T → vai gerar um torque no disco, e fazê-lo entrar em rotação, enquanto a força N → não gera torque pois está no centro de massa do disco. Por isso, vamos escrever a segunda lei de Newton para rotação:

τ T = I α

T R = I α

Pelo formulário, sabemos que o momento de inércia de um disco em relação ao seu centro de massa é:

T R = M R 2 2 α

T = M R 2 α

Passo 4

Agora, vamos juntar essas duas equações para achar a força de tração T :

m g - T = m a T = M R 2 α

A única relação entre os dois é o próprio T que queremos achar...

Então, vamos tirar outra relação da cartola.

Como o fio não desliza com o disco, podemos relacionar as acelerações linear do bloco e angular do disco assim:

a = α R

α = a R

Substituindo isso na segunda equação, temos:

T = M R 2 a R

a = 2 T M  

Substituindo na primeira:

m g - T = m 2 T M  

T 2 m M + 1 = m g

T 2 m + M M = m g

T = M m g 2 m + M

Passo 5

Na letra (b), queremos o vetor momento angular L → .

Momento angular pode ser calculado por:

L = I ω

Mas quem é a velocidade angular ω ?

Passo 6

Lembra que quando a força é constante ( a = cte ) em um objeto, podemos calcular sua velocidade com:

v = v 0 + a t

Para rotações, fazemos parecido. Como o torque é constante ( α = cte ) , podemos achar a velocidade angular ω do disco com:

ω = ω 0 + α t

O disco parte do repouso, então ω 0 = 0 :

ω = α t

Além disso, temos que:

T R = I α

α = T R I

Então:

ω = T R I t

Passo 7

Substituindo novamente na expressão do momento angular, temos:

L = I ω

L = I T R I t

L = T R t

Agora, podemos susbtituir o valor de T que achamos no item (a):

L = M m g 2 m + M R t

L = M m g R t 2 m + M

Achamos o módulo de L , mas precisamos da direção e sentido também.

O vetor momento angular L → tem o mesmo sentido do vetor velocidade angular ω :

L → = I ω →

Agora, vamos olhar novamente para o disco:

O disco gira no sentido horário.

Pela regra da mão direita, o vetor ω → estará na direção vertical para baixo, assim como o vetor L → .

Você pode explicar com palavras como está nessa frase acima, ou então, definir um sistema de eixos no desenho, como foi feito na letra (a) e escrever o vetor:

L → = M m g R t 2 m + M   - k ^

Passo 8

Na letra (c), temos que o fio já se desenrolou todo, então não há mais um torque sendo aplicado no disco e ele passa a girar com velocidade constante.

Como não há mais nenhum torque externo no disco, inclusive quando o inseto pousa, pois isso ocorre no centro do disco, o momento angular do disco vai se conservar:

L i = L f

Já calculamos o momento angular do sistema após um período de tempo:

L i = M m g R t 2 m + M

Já no instante final, o momento angular será:

L f = I ' ω f

I ' é o novo momento de inércia do conjunto disco mais inseto:

I ' = I + I w

I ' = M R 2 2 + m w r 2

Então:

L f = M R 2 2 + m w r 2 ω f

Passo 9

Igualando os dois momentos angulares, temos:

L i = L f

M m g R t 2 m + M = M R 2 2 + m w r 2 ω f

Assim, conseguimos a velocidade angular ω w :

ω f = M m g R t 2 m + M M R 2 2 + m w r 2

Resposta

(a)

T = M m g 2 m + M

(b)

L → = M m g R t 2 m + M   - k ^

(c)

ω f = M m g R t 2 m + M M R 2 2 + m w r 2

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