Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira em torno de um eixo vertical com velocidade escalar constante, mantendo-se a uma distância d = 0.5 m do eixo; o ângulo θ é igual a 30 ° (ver figura). O fio passa sem atrito através de um orifício numa placa e é puxado lentamente para cima até que o ângulo θ passa a 60 ° .

(a) Que comprimento do fio foi puxado?

(b) De que fator variou a velocidade de rotação?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou facilitar para você!

Temos uma bolinha presa por um fio e esse sistema gira com velocidade angular constante. Em um determinado instante a bolinha é puxada de forma que o ângulo que a corda faz com a vertical passa a ser 60 ° .

E com essa mudança no comprimento do fio, a velocidade angular também vai mudar! Então a ideia aqui é comparar as situações de força (antes e depois do fio ser puxado) para obter uma relação entre as velocidades angulares e, em conjunto usar a conservação do momento angular dessa bolinha (antes de ser puxada e depois) para determinar quanto o fio foi puxado.

Mas relaxa, vou fazer junto com você! Passo a passo!

Passo 2

Letra (a): Para começar, vamos descrever em termos das forças a dinâmica da bolinha:

Temos a tensão ao longo do fio, e a força peso verticalmente para baixo.

Lembrando que a força resultante na direção radial (no nosso caso horizontal) é a força centrípeta F c = m v 2 R = m ω 2 d !

Beleza?

Da situação do desenho, podemos escrever:

T s e n θ = m ω 2 d

T c o s θ = m g

Dividindo as duas:

t g θ = ω 2 d g

No primeiro instante, o ângulo era 30 °

t g 30 ° = ω 0 2 d g

E podemos fazer a mesma análise depois do fio ser puxado!

Depois que a corda é puxada passa a ser 60 °

t g 60 ° = ω 2 d ' g

Dividindo as duas:

t g 60 ° t g 30 ° = 3 3 / 3 = ω 2 d ' ω 0 2 d = 3

Assim a relação entre as velocidades angulares e o raio de rotação é

ω 2 d ' = 3 ω 0 2 d

Beleza?

Passo 3

Agora vamos conservar o momento angular!

I ω = I 0 ω 0

O momento de inercia de um ponto a gente já conhece! Vale m R 2 , antes R = d e depois R = d ' :

m d ' 2 ω = m d 2 ω 0

Daí temos:

ω ω 0 = d 2 d ' 2

Elevando ao quadrado:

ω 2 ω 0 2 = d 4 d ' 4

Tranquilo?

Passo 4

Agora podemos juntar resultados! A relação do passo 2:

ω 2 d ' = 3 ω 0 2 d

Com a relação do passo 3:

ω 2 ω 0 2 = d 4 d ' 4

Substituindo um no outro:

d 4 d ' d ' 3 d = 3

d 3 d ' 3 = 3

Daqui, como d = 0.5 m :

d ' = 0.34 m

Então é essa a distância da bolinha ao eixo de rotação depois do fio ser puxado!

Beleza até aqui?

Passo 5

Ainda precisamos calcular quanto do fio inicial foi puxado!

Bom, para saber quanto foi puxado precisamos primeiro encontrar o comprimento original do fio, quando o ângulo era 30 ° . Dá uma espiada nessa figura:

O comprimento l do fio pode ser encontrado pelo seno de 30 ° :

s e n 30 ° = d l

Lembrando que a distância d é de 0,5 m , então l

l = 0,5 s e n 30 = 1 m

Beleza?

Passo 6

Podemos fazer uma análise parecida para verificar o quanto de fio foi puxado. Quando puxamos o fio, digamos por uma distância l ' , formamos o seguinte triângulo:

A nova hipotenusa é o x , que é o valor do fio que sobrou depois que ele foi puxado. O comprimento que foi puxado é l ' , de forma que l = l ' + x .

Vamos primeiro encontrar quanto vale x , a partir desse triângulo, já que sabemos quanto vale d ' . E depois é só descobrir quanto vale l ' . Certo?

Vamos lá!

s e n 60 ° = d ' x

0,34 x = 3 2

Daí:

x = 0,4 m

l = 1 m , podemos achar quanto foi puxado:

l ' = 1 - x = 1 - 0,4 = 0,6 m

Ok? Vamos para letra (b)?

Passo 7

Letra (b): agora queremos a razão entre as velocidades!

Lá do passo 3 encontramos a seguinte relação:

ω 2 d ' = 3 ω 0 2 d

Como calculamos d ' e d foi dado, agora é só substituir!

d = 0,5 m     ;     d ' = 0,34 m

ω 2 ω 0 2 = 3 d d '

ω ω ' = 3 0,5 0,34 = 2,1    

Ufa! Agora sim terminamos!

Espero ter ajudado!

Resposta

  1. x = 0.6 m
  2. ω ω 0 = 2 . 1

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