Considere um disco de massa M e raio R girando com velocidade tangencial v 0 em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Forneça os itens abaixo em termos de M , R ou v 0 .

a) Calcule a energia cinética e o módulo do momento angular do disco. Mostre explicitamente o cálculo de todas as quantidades necessárias para obter estas grandezas.

b) Suponha que um pedaço do disco de massa m quebra e sobe verticalmente acima do ponto do qual se desprendeu. Calcule a altura que ele sobe antes de começar a cair.

c) Qual a velocidade angular final do disco quebrado?

d) Considere o disco intacto girando em torno de um eixo paralelo ao anterior a uma distância r . Calcule a razão da inércia rotacional anterior em relação a esta nova.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Partiu resolver esse problema sobre rotações!

O item (a) é bem simples: basta calcular a energia cinética e o momento angular. A energia cinética de um corpo em rotação é

K = 1 2 I C M ω 2

O momento de inércia do disco é

I C M = 1 2 M R 2

Já a velocidade angular ω se relaciona com a velocidade tangencial v 0 por

v 0 = ω R → ω = v 0 R

Assim,

K = 1 2 ⋅ 1 2 M R 2 ⋅ v 0 R 2

Portanto,

K = 1 4 M v 0 2

Já para o momento angular, temos

L = I C M ω = 1 2 M R 2 ⋅ v 0 R

Assim,

L = 1 2 M v 0 R

Passo 2

Agora vamos para o item (b)! A velocidade do pedacinho de massa m no momento que “foge” do disco é v 0 . Com isso, é só usar um pouquinho de cinemática para achar a altura máxima atingida:

v 2 = v 0 2 - 2 g h

No ponto de altura máxima temos v = 0 , de modo que

h = v 0 2 2 g

Passo 3

Para achar a velocidade angular do disco após a saída do pedacinho de massa m , vamos usar a conservação do momento angular:

L a n t e s = L d e p o i s

Antes, o momento angular era

L a n t e s = 1 2 M v 0 R

Após a desprendimento, temos

L d e p o i s = I ' ω '

Logo,

1 2 M v 0 R = I ' ω '

O momento de inércia I ' é o momento de inércia I C M menos o momento de inércia de uma partícula pontual de massa m a uma distância R do eixo de rotação (corresponde ao pedacinho de massa m ):

I ' = 1 2 M R 2 - m R 2 = 1 2 M - 2 m R 2

Com isso, podemos escrever

1 2 M v 0 R = 1 2 M - 2 m R 2   ω '

Isolando ω ' :

ω ' = M v 0 M - 2 m R

Passo 4

Para o item (d), voltamos a situação do disco inteiro, sem o pedacinho solto. Ele pede a razão dos momentos de inércia entre a situação que o eixo de rotação está no centro de massa do disco e da situação em que esse eixo está a uma distância r do centro de massa:

I C M I r =   ?

Sabemos que

I C M = 1 2 M R 2

Usando o teorema dos eixos paralelos, temos que

I r = I C M + M r 2 = 1 2 M R 2 + M r 2 = 1 2 M R 2 + 2 r 2

Com isso,

I C M I r = 1 2 M R 2 1 2 M R 2 + 2 r 2

Portanto,

I C M I r = R 2 R 2 + 2 r 2

Ufa, deu um trabalhinho mas chegamos ao fim 😊!

Resposta

K = 1 4 M v 0 2             e               L = 1 2 M v 0 R

h = v 0 2 2 g

ω ' = M v 0 M - 2 m R

I C M I r = R 2 R 2 + 2 r 2

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