( i i i ) A figura mostra uma barra homogênea pendurada, de comprimento L   =   1,00   m e massa M   =   1,00   k g , que gira em torno de um eixo numa de suas pontas. A barra, inicialmente em repouso, é atingida por uma partícula de massa m   =   100   g num ponto d   =   0,800   L abaixo do eixo. Admita que a colisão é perfeitamente inelástica. Qual deve ser a velocidade   v da partícula para que, após a colisão, o ângulo máximo entre a barra e a vertical seja de 90 ° ?

Utilize g   =   10   m / s 2 .

Passo 1

Para determinar a velocidade da partícula para que a barra gire 90 ° , iremos utilizar a Lei da Conservação do Momento Angular. Podemos utilizála pois não há torques externos ao sistema (partícula + barra).

L → a n t e s = L → d e p o i s

Lembrando que antes da colisão a barra está parada e que após a colisão, que é completamente inelástica, a partícula gruda na barra, temos:

r → × p → = I . ω i

em módulo, temos:

0,800 L . m . v = I . ω i

Passo 2

Para o sistema, temos o seguinte momento de inércia, sabendo que a colisão é perfeitamente inelástica, ou seja os corpos saem juntos! Utilizando o teorema dos eixos paralelos, temos:

I b a r r a = I c m + M . h 2

I b a r r a = M . L 2 12 + M . L 2 2

I b a r r a = M . L 2 3

Para o sistema, temos:

I = I p a r t í c u l a + I b a r r a

I = m . 0,800 L 2 + M . L 2 3

I = 0,397 L 2

Passo 3

Substituindo na fórmula da conservação:

0,800 L . m . v = I . ω i

0,800 L . m . v = 0,397 L 2 . ω i

Isolando a velocidade angular, e substituindo os valores, temos:

ω i = 0,20 .   v

Bom achamos a velocidade logo após a colisão! Legal...mas para que eu quero isso?!

Passo 4

Bom, agora que temos a velocidade logo após a colisão, podemos usar o Teorema do Trabalho e Energia Cinética!

W T O T = Δ E c

W T O T = I . ω f 2 2 - I . ω i 2 2

Como queremos que a barra chegue a 90 ° , sua velocidade angular final será zero! Se liga!

W T O T = 0 - I . ω i 2 2

W T O T = 0,397 .   0,2 . v 2 2

W T O T = 0,008 . v 2

Achamos mais uma incógnita, mas ainda não é a resposta final! Mas continua ligado!

Passo 5

Agora temos o trabalho realizado, como sabemos que a única força que realizou trabalho foi a força peso da partícula e da barra, temos:

W T O T = m . g . 0,800 L + M . g . L 2

Ta ligado que a altura é quanto o centro de massa de cada componente deve subir para que a barra fique a 90 ° da vertical!

Igualando as duas expressões para o trabalho, temos:

0,008 . v 2 =   m . g . 0,800 L + M . g . L 2

Agora é só substituir os valores:

v 2 = 725

v ≈ 26,9   m / s

Uffaaa....essa foi longa!

Resposta

v ≈ 26,9   m / s

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