Uma partícula de massa m e velocidade v desliza sobre uma superfície horizontal e colide com um quadrado formado por barras rígidas de massa desprezível e comprimento l , que possui partículas de massa m em três dos seus vértices, como mostrado na figura (vista de cima). O quadrado está inicialmente em repouso, e o atrito entre todos os corpos e a superfície pode ser desprezado. Após a colisão, a partícula fica colada ao quadrado no vértice que estava vazio. Expresse todas as respostas em função de m , l e v .

(a) Que grandezas físicas relevantes para o problema são conservadas na colisão? Justifique sua resposta.

(b) Determine o momento de inércia do sistema, após a colisão, em torno do eixo de rotação relevante para o problema.

(c) Determine o vetor velocidade de translação do centro de massa do sistema após a colisão.

(d) Determine o vetor velocidade angular de rotação do sistema em torno do seu eixo.

(e) Qual é a variação de energia cinética do sistema devido à colisão?

Passo 1

(a)

Sabemos que:

d d t P s i s t → = F e x t →

Ou seja, o momento linear só muda se houver a presença de forças externas ao sistema. Como não tem forças externas ao sistema, o momento linear é conservado!

Além disso, sabemos que:

d d t L s i s t → = τ e x t →

Ou seja, o momento angular só muda se houver a presença de torque externo ao sistema. Como não tem forças externas ao sistema, também não terá torque externo ao sistema e o momento angular será conservado!

Como após a colisão a partícula fica colada ao sistema, a colisão é totalmente inelástica e a energia cinética não será conservada.

Passo 2

(b)

Sabemos que o momento de inércia para partículas pode ser calculado por:

I = m . r 2

E o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia das partículas. Mas como as 4 partículas tem a mesma massa e a mesma distância até o centro do quadrado, elas terão o mesmo momento de inércia! Logo, para achar o momento de inércia, basta multiplicar o momento de inércia de uma partícula por 4.

I = 4   ( m . r 2 )

A distância até o centro do quadrado é a metade da diagonal, ou seja l 2 2 . Logo:

I = 4 . m l 2 2 2

I = 4 m . l 2 2 4

I = 2 m l 2  

Passo 3

(c)

Fazendo a conservação do momento linear Teremos:

P 0 → = P f →

No momento inicial, as três partículas estão em repouso, apenas uma possui velocidade, então:

P 0 → = P f →

m v → = 4 m v C M →

v C M → = v → 4

Passo 4

(d)

Já utilizamos a conservação do momento linear, só falta a conservação do momento angular, é ela mesma que vamos usar!

L 0 → = r → × p → = r → × m v →

Onde r → é a distância até o eixo que é o centro do quadrado. Olhando direitinho dá para ver que essa distância é metade da diagonal do quadrado, ou seja, l 2 2 . Então:

L 0 = m . v . l 2 2

Como o problema está querendo a velocidade angular, é interessante que utilizemos outra fórmula para o momento angular final, da forma que explicite a velocidade angular na nossa equação, lembra qual é?

L f = I ω

O momento de inércia já foi calculado no item b , basta substituir:

L f = 2 m l 2 ω

Como explicado no item a , o momento angular é conservado. Então igualando o final e inicial:

L 0 = L f

m . v . l 2 2 = 2 m l 2 ω

ω = v 2 4 l

Pronto! Já temos o módulo da velocidade angular, só falta agora a direção e sentido.

Para descobrir a direção e sentido, vamos olhar para o momento angular, pois:

L f → = I ω →

Logo o momento angular tem que ter a mesma direção e sentido da velocidade angular.

Agora, olhando para a outra fórmula:

L f → = r → × m v →

Conseguimos descobrir a direção e sentido pela regra da mão direita. Reescrevendo em termos dos vetores unitários ficará:

L f → = r   j ^ × m v   i ^

Pela regra da mão direita temos que:

j ^ × i ^ = - k ^

Então ficamos com:

L f → = - r m v   k ^

Ou seja, como a velocidade angular tem a mesma direção e sentido do momento angular, ela terá o sentido - k ^ , ou seja, perpendicular ao quadrado e apontando para baixo.

Passo 5

(e)

Basta calcular a energia cinética final e inicial. A inicial é dada por:

K 0 = 1 2 m v 2

Entretanto a energia cinética final é dada pela energia cinética de rotação e energia cinética de translação.

K f = K r o t + K t r a n s

K f = 1 2 I ω 2 + 1 2 4 m v C M 2

Substituindo o momento de inércia, a velocidade de centro de massa e a velocidade angular que encontramos nos itens anteriores:

K f = 1 2 2 m l 2 v 2 4 l 2 + 1 2 4 m . v 2 16

K f = m v 2 8 + m v 2 8

K f = m v 2 4

Agora podemos calcular a variação da energia cinética:

∆ K = K f - K 0

Δ K = m v 2 4 - 1 2 m v 2

Δ K = - 1 4 m v 2

Resposta

a) Momento angular e linear.

b) I = 2 m l 2  

c) v C M → = v → 4

d) ω = - v 2 4 l k ^

e) Δ K = - 1 4 m v 2

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