Um carrossel em forma de disco sólido homogêneo, com massa M = 200   k g e raio R = 1,5 m , está fixo em seu centro de massa por um eixo vertical e pode girar sem atrito no plano horizontal. Partindo do repouso, o carrossel é submetido a uma aceleração angular constante de 0,50   r a d / s 2 no sentido anti-horário, até atingir uma velocidade angular 3,0   r a d / s .

a ) Determine o deslocamento angular realizado pelo carrossel durante seu processo de aceleração e o tempo necessário até atingir sua velocidade angular final.

Cessada a aceleração, o carrossel se mantém com velocidade angular de 3,0   r a d / s . Um menino de massa m = 40   k g , correndo com uma velocidade v 0 = 5   m / s na direção mostrada na figura, tal que ϕ = 30 ° , salta sobre a borda do carrossel e se agarra a ele. Modele o menino como uma partícula.

b ) Determine os vetores angular do menino e do carrossel, respectivamente L → m e L → c , imediatamente antes do salto do menino sobre o carrossel(use o sistema de coordenada mostrado na figira).

c ) Determine a velocidade angular final do conjunto carrossel + menino e o sentido da rotação (horário ou anti-horário) após o menino saltar no carrossel.

Passo 1

a )

Para o item a , precisamos lembrar das equações de movimento para movimento circular!

Vamos primeiro descobrir quanto tempo o carrossel demorou até atingir uma velocidade de 3,0   r a d / s , para isso vamos usar:

ω = ω 0 + α . t

3,0 = 0 + 0,50 . t

t = 6,0   s

Passo 2

Agora que temos o tempo podemos descobrir o deslocamento:

Δ θ = ω 0 . t + α . t 2 2

Δ θ = 0   .   6 + 0,5   .   6,0 2 . 1 2

Δ θ = 9,0   r a d

Passo 3

b )

Para determinar os momentos angulares, vamos relembrar sua definição, L → = r → × p → . Para o menino, teremos:

L → m = R . m . v 0 . sin ⁡ 180 ° - ϕ ( - k ^ )

Pois, R   é a distância que o menino estará do eixo no momento da colisão. A direção e o sentido do vetor é dado pela regra da mão direita! Substituindo, temos:

L → m = 1,5   .   40   .   5   . s e n ⁡ ( 150 ° )

  L → m = 150   k g . m 2 / s   ( - k ^ )  

Passo 4

Para o carrossel, devemos lembrar da seguinte definição, L → = I ω → , agora sim podemos achar o momento angular do carrossel!

L → c   = I ω →

L → c = M . R 2 2 ω →

Substituindo, temos:

L → c = 200   .   1,5 2   2 . 3,0   ( k ^ )

L → c = 675   k g . m 2 / s   ( k ^ )

A direção e o sentido do vetor é dado pela regra da mão direita!

Passo 5

c )

Para achar a velocidade angular do conjunto carrossel + menino, iremos recorrer à conservação do momento angular! Mas lembre-se que o momento angular só se conserva quando não existem torques externos! Ah...beleza! Então a gente pode sim usar a conservação para resolver esse item! Então vamos lá!

L → a n t e s = L → d e p o i s

L → c +   L m → a n t e s = L → c +   L m → d e p o i s

Como a gente já calculou os momentos angulares antes de o menino saltar, fica bem mais fácil!

- 150 + 675 k ^ = I C M . ω f + m . R 2 .   ω f

Isolando a velocidade angular final, temos:

ω f = 525 M . R 2 2 + m . R 2

ω f = 525 200 .   1,5 2 2 + 40   . 1,5 2

ω f = 1,67   r a d / s   ( k ^ )

Resposta

a )   Δ θ = 9,0   r a d

b )   L → m = 150   k g . m 2 / s   ( - k ^ )   ;   L → c = 675   k g . m 2 / s ( k ^ )

c )   ω f = 1,67   r a d / s   ( k ^ )

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