Enunciado

Um alvo é constituído por uma placa quadrada de lado l e massa M que pode girar sem atrito em volta de um eixo passando por um dos seus lados. O eixo é fixado horizontalmente numa parede e o alvo colocado na sua posição de repouso, conforme mostrado na figura. Em seguida, ele é atingido frontalmente em seu centro por uma partícula de massa m e velocidade v que fica retida no centro da placa. Usando o ponto 0 como origem quando for preciso, e supondo M = 9 m ( 9 vezes a massa da partícula), responda às seguintes perguntas, expressando suas respostas em termos de m , l , v e g .

(a) Calcule o momento de inércia total do sistema depois da colisão em torno do seu eixo de rotação, sabendo que o momento de inércia de uma barra delgada de mesma massa M e largura l em relação a um eixo passando pelo seu centro (e perpendicular à barra) é I = M l 2 12 .

(b) Qual é a velocidade angular da placa logo após o impacto da bala?

(c) Qual é a altura máxima atingida pelo centro de massa da placa antes que ela comece a oscilar em torno da sua posição vertical inferior?

(d) Qual é a aceleração angular da placa, naquela altura máxima, expressada em função do ângulo θ que ela faz em relação à sua posição de repouso?

Passo 1

(a)

Pelo teorema dos eixos paralelos:

I p l a c a = I C M + M d 2

Onde d é a distância até o novo eixo, ou seja, a distância do centro de massa até o ponto 0 , que é l 2 . Substituindo:

I p l a c a = M l 2 12 + M l 2 2

I p l a c a = 1 3 M l 2

Como M = 9 m , então:

I p l a c a = 9 m 3 l 2

I p l a c a = 3 m l 2

Perfeito. Entretanto, o sistema não é apenas composto pela placa, temos também a partícula que fica alojado na placa. Para calcular o momento de inércia de qualquer partícula vale a fórmula:

I p a r t = m r 2

Onde r é a distância até o eixo de rotação, que nesse caso, como a partícula atinge o centro da barra, a distância até o ponto 0 , será l 2 . Substituindo:

I p a r t = m l 2 4

Agora para obter o momento de inércia do sistema é só somar.

I t o t a l = I p l a c a + I p a r t

I t o t a l = 3 m l 2 + m l 2 4

I t o t a l = 13 4   m l 2

Passo 2

(b)

Como estamos trabalhando com um sistema isolado, sem forças externas, também não haverá torques externos. Ok, mas e dai? Bem, se a gente lembrar bem, tínhamos duas fórmulas que diziam:

d P → d t = F e x t →

d L → d t = τ e x t →

Em outras palavras, sem força externa e torque externo, os momentos linear e angular se conservam.

Como estamos interessados em descobrir a velocidade angular, é interessante utilizar a conservação do momento angular antes e depois da colisão.

Vamos utilizar L → = r → × m v → .

L 0 → = r → × m v →

Como a distância da partícula até a placa era l 2 antes mesmo da colisão, em módulo vai ficar:

L 0 = l 2 m v

Agora para calcular o momento angular final, vamos utilizar a fórmula L → = I ω → , pois o nosso interesse é em descobrir a velocidade angular.

L f = I ω

L f = 13 4 m l 2 ω

Fazendo agora a conservação do momento angular:

L 0 = L f

l 2 m v = 13 4 m l 2 ω

ω = 2 v 13 l

Passo 3

(c)

Logo após a colisão, depois que a partícula fica retida na placa, a energia mecânica do sistema entre a posição inicial e a altura máxima se conserva. Assim, calculando a energia mecânica antes e depois:

E m 1 = K 1 + U 1

Entretanto, estamos considerando a posição logo após a colisão como sendo a altura inicial zero. Portanto não temos energia potencial gravitacional. Além disso, o sistema está preso ao eixo de rotação, então ele não possui translação, apenas rotação. Logo a energia cinética é apenas de rotação. Ficamos então com:

E m 1 = K r o t

E m 1 = 1 2 I ω 2

E m 1 = 13 4 m l 2 . 2 v 13 l 2

E m 1 = m v 2 26

Agora, no ponto mais alto que o sistema poderá atingir, a energia mecânica será dada por:

E m 2 = K 2 + U 2

Entretanto, no ponto mais alto o sistema está em um momento de inversão de movimento, ou seja, ele chegou ao ponto mais alto, parou por um instante e começará a fazer o movimento no sentido contrário. Logo, no ponto mais alto ele terá velocidade nula, ou seja, não terá energia cinética! Apenas energia potencial. Ficamos então com:

E m 2 = U 2

E m 2 = m + M g h C M

E m 2 = 10 m g h C M

Aplicando a conservação de energia mecânica:

E m 1 = E m 2

m v 2 26 = 10 m g h C M

h C M = v 2 260 g

Passo 4

(d)

Vamos fazer um desenho genérico da situação para entender melhor:

Para analisarmos o que está acontecendo, precisamos decompor a força peso em:

P x = P sen ⁡ θ

P y = P cos ⁡ θ

A componente P y está na direção do eixo e portanto não produzirá torque, entretanto a componente P x produzirá torque, que pode ser calculado por:

τ → = r → × P x →

Onde r é a distancia até o eixo de rotação que nada mais é que l 2 . Substituindo em módulo ficará:

τ = l 2 . P sen ⁡ θ

τ = l 2 . M + m g sen ⁡ θ

Lembrando que M = 9 m .

τ = 5 m . g . l . sen ⁡ θ

Agora como o problema quer a aceleração angular, basta utilizar a fórmula:

τ = I α

τ = 13 4 m l 2 α

Substituindo o torque que encontramos:

13 4 m l 2 α = 5 m . g . l . sen ⁡ θ

α = 20 g 13 l s e n ⁡ θ

Resposta

a) I t o t a l = 13 4   m l 2

b) ω = 2 v 13 l

c) h C M = v 2 260 g

d) α = 20 g 13 l sen ⁡ θ

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