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Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

Uma barra de cobre de 1,0   k g repousa em dois trilhos horizontais situados a 1,0 m de distância um do outro e é percorrida por uma corrente de 50   A . O coeficiente de atrito estático entre os trilhos é 0,60 . Determine a o módulo e b o ângulo (em relação à vertical) do menor campo magnético que faz a barra se mover.

Passo 1

Beleza, esse não é dos mais fáceis, mas podemos dar conta numa boa...

Acontece que, como agora o campo magnético tem uma inclinação em relação à vertical, a força magnética sob a barra terá uma componente vertical e uma componente horizontal.

Antes de continuar, vamos definir B x como a componente horizontal do campo magnético e B y como a componente vertical do campo magnético, beleza? F B x , por sua vez, é a força magnética gerada pelo campo magnético B x e F B y , a força magnética gerada por B y .

Definindo o sentido da corrente indicado na figura, teremos a seguinte situação:

A menor força magnética na horizontal capaz de fazer o fio se mover deve ser igual à força de atrito estático. Logo:

F B y = μ N

Onde μ é o coeficiente de atrito estático e N é a força normal.

Passo 2

A força normal é a reação entre a barra e os trilhos, logo:

∑ F y = 0

N - m g + F B x = 0

N = m g - F B x

Onde F B x = i L B x , portanto:

N = m g - i L B x

Passo 3

Fazendo o somatório de forças na horizontal, teremos:

F B y = μ N

Onde F B y = i L B y .

i L B y = μ m g - i L B x

Como queremos descobrir o ângulo θ que o campo magnético faz com a vertical:

B y = B cos ⁡ θ

B x = B sen ⁡ θ

Jogando isso na equação de cima, teremos:

i L B cos ⁡ θ = μ m g - i L B sen ⁡ θ

Reorganizando os termos, teremos o seguinte:

B = μ m g i L cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ

Beleza, mas o que faremos a partir daqui?

Passo 4

Para descobrir o ângulo em relação à vertical, vamos derivar a expressão de B em relação θ e igualar o resultado a zero, beleza?

d B d θ = 0

μ m g i L sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

Dessa equação, μ , m , g , i e L são constantes, logo:

sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

Para que essa razão seja nula, é necessário que o numerador seja nulo, portanto:

sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ = 0

tan ⁡ θ = μ

Onde μ = 0,60 :

θ = arctan ⁡ μ

θ = arctan ⁡ 0,60

θ = 31 °

Passo 5

Pra determinar o campo magnético, agora basta utilizar a relação de B que encontramos no Passo 3.

B = μ m g i L cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ

Onde:

μ = 0,60

m = 1,0   k g

g = 9,8   m / s 2

i = 50 A

L = 1,0   m

θ = 31 °

Jogando tudo em B , teremos:

B = 0,60 × 1 × 9,8 50 × 1 cos ⁡ 31 ° + μ sen ⁡ 31 °

B = 0,10   T

Resposta

a

B = 0,10   T

b

θ = 31 °

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