Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

Quatro longos fios de cobre são paralelos entre si e estão dispostos em um quadrado de lado a . Eles conduzem correntes iguais I para fora da página, conforme mostrado na figura.

b) encontre a expressão literal para o módulo da força por metro sobre qualquer um dos fios. Substitua os valores para I = 1 A , a = 1 c m e indique o valor da força.

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos lá?

Temos quatro fios, e escolhendo um deles para calcular a força por metro, precisamos determinar a influência dos outros três nesse outro fio. Vou escolher o fio inferior direito para calcular, mas você pode escolher qualquer outro e comparar o resultado! Vai ser o mesmo! Já que as correntes são as mesmas =)

Em relação ao ponto escolhido, usando a regra da mão direita, temos três campos (devido aos outros três fios):

Para calcular a força, precisamos calcular primeiro o campo de cada fio. Então, vou usar a lei de Ampére, calcular o campo associado aos três fios, e achar o campo magnético resultante.

Como o campo é perpendicular à corrente, a força magnética é

F = B I L

E a força por unidade de comprimento de fio ( F / L ) é

F L = B I

E com a expressão do campo, é só substituir os valores! Então a ideia é essa! Calcular o campo, jogar na força e substituir os valores!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A lei de Ampére para um fio a um ponto que está a uma distância r do fio é:

∮ B . d l = μ 0 I

B . 2 π r = μ 0 I

B = μ 0 I 2 π r

Agora para cada fio, vamos ter um vetor diferente! Regatando do passo anterior o desenho dos campos magnéticos devido a cada um dos fios:

O campo do fio com um X azul é vertical para cima, então o vetor unitário que dá essa direção é o j ^ = ( 0,1 ) , e como a distância entre os fias é igual ao lado do quadrado r = a então o campo devido a esse fio é:

B → a z u l = μ 0 I 2 π a j ^

Tudo bem até aqui?

O fio com X verde causa um campo na direção horizontal, então o vetor unitário que dá a direção é o i ^ = ( 1,0 ) , a distância entre os fios é o lado do quadrado então r = a também. E aí o campo dele é

B → v e r d e = μ 0 I 2 π a i ^

Já o vetor vermelho está na diagonal para cima. Um vetor unitário que tem essa direção é uma composição dos versores i ^ e j ^ :

2 2 , 2 2 = 2 2 i ^ + 2 2 j ^

E a distância entre os fios é igual a diagonal do quadrado então r = a 2 . Assim o vetor campo magnético do fio vermelho é:

B → v e r m e l h o = μ 0 I 2 π a 2 2 2 i ^ + 2 2 j ^

Tranquilo?

Passo 3

O próximo passo é encontrar o campo resultante: basta somar todas as componentes:

B → = B → a z u l + B → v e r d e + B → v e r m e l h o = μ 0 I 2 π a j ^ + μ 0 I 2 π a i ^ + μ 0 I 2 π a 2 2 2 i ^ + 2 2 j ^

B → = μ 0 I 2 π a 1 + 1 2 i ^ + μ 0 I 2 π a 1 + 1 2 j ^

O vetor campo resultante vai ser o módulo é a raiz da soma do quadrado das componentes:

B → = B x 2 + B y 2 = μ 0 I 2 π a 1 + 1 2 2 + μ 0 I 2 π a 1 + 1 2 2 = 3 μ 0 I 2 4 π a

Passo 4

Oba! Agora com a expressão do campo na mão, podemos calcular a força por metro! Lá do passo 1:

F L = B I

Então:

F L = 3 μ 0 I 2 4 π a . I

E agora é só substituir os valores:

I = 1 A , a = 1 c m ,   μ 0 = 1,26 × 10 - 6

F L = 3 1,26 × 10 - 6 . 1 . 2 4 π 1 × 10 - 2 . 1 = 4,25 × 10 - 5

Beleza?

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

4,25 × 10 - 5

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