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Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

Um fio condutor, curvado na forma de um semicírculo de raio R , forma um circuito fechado e é percorrido por uma corrente I . O circuito está no plano x y e um campo magnético uniforme B → está aplicado paralelamente ao eixo y , com é visto na figura.

a ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte retilínea do condutor.

b ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte curva do condutor.

Passo 1

a ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte retilínea do condutor.

Por definição, a força magnética sobre uma espira é dada por:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Onde d l → está sempre na mesma direção e sentido da corrente.

No caso de um condutor retilíneo, podemos dar uma simplificada nesse cara que, agora, terá essa cara:

F → = I L → × B →

Onde, novamente, L → tem a direção e sentido da corrente.

Passo 2

Nesse problema, olhando a figura, podemos concluir que:

L → = 2 R i →

B → = B j →

Portanto:

F → r e t = I 2 R i → × B j →

F → r e t = 2 I R B i → × j →

F → r e t = 2 I R B k →

Passo 3

b ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte curva do condutor.

Aqui, como se trata se um condutor curvado, vamos usar essa expressão para a força magnética:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Beleza, vamos dar uma olhada no vetor d l → nesse caso:

Daqui podemos decompor o vetor d l → em componentes nas direções x e y .

d l → = - R cos ⁡ θ d θ i → + R sen ⁡ θ d θ j →

0 ≤ θ ≤ π

Substituindo isso na expressão de F → , teremos:

F → c u r v a = ∫ π 0 I - R cos ⁡ θ d θ i → + R sen ⁡ θ d θ j → × B j →

Agora é só organizar esse cara e fazer as contas:

F → c u r v a = ∫ π 0 I R B sen ⁡ θ d θ   k →

F → c u r v a = I R B ∫ π 0 sen ⁡ θ d θ   k →

F → c u r v a = I R B cos ⁡ θ π 0 k →

F → c u r v a = - 2 I R B k →

A gente começa integrando de π até chegar a 0 porque a seta está andando no sentido oposto, como podemos notar pela figura ;)

Resposta

a )

F → r e t = 2 I R B k →

b )

F → c u r v a = - 2 I R B k →

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