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Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

Uma espira quadrada de lado a , contida no plano x y , é percorrida por uma corrente I no sentido horário, conforme a figura. Na região onde se encontra a espira existe um campo magnético

B → y = C y k ^ ,

onde C > 0 é uma constante.

(a) Calcule a força magnética sobre os lados 1 e 3 da espira.

(b) Calcule a força magnética sobre os lados 2 e 4 da espira.

(c) Calcule a força resultante sobre a espira.

Passo 1

Quando o campo magnético e a direção da corrente em um fio são constantes temos que a força magnética sobre esse fio será

F → = I l → × B →

Sobre o lado 1 da espira temos que o campo magnético é constante e B → b = k ^ C / b .

A corrente que passa por esse lado é orientada na direção - i ^ e percorre uma distância a , de forma que a força sobre este lado será

F → 1 = I - a i ^ × k ^ C b

F → 1 = I C a b j ^

Passo 2

Sobre o lado 3 da espira temos que o campo magnético é constante e B → a + b = k ^ C / ( b + a ) .

A corrente que passa por esse lado é orientada na direção i ^ e percorre uma distância a , de forma que a força sobre este lado será

F → 3 = I a i ^ × k ^ C a + b

F → 3 = - I C a a + b j ^

Passo 3

Sobre os lados 2 e 4 temos que o campo magnético varia ao longo do caminho da corrente (direção y ). Nesse caso teremos que olhar o diferencial de força

d F → = I d l → × B → ( y )

No caso do fio 2 temos que a corrente está indo na direção j ^ , começando em y = a e terminando em y = a + b . A força atuando em um pedaço d l → = d y j ^ desse fio será

d F → 2 = I d y j ^ × C y k ^ = C I d y y i ^

De modo que

F → 2 = C I i ^ ∫ b a + b d y y

F → 2 = C I ln ⁡ a + b b i ^

Passo 4

No caso do fio 4 temos que a corrente está indo na direção - j ^ . O procedimento é o mesmo que no caso do fio 2 , porém com uma corrente indo na direção oposta. Dessa forma temos que a força no fio 4 será a mesma que no fio 2 em magnitude, mas no sentido oposto, ou seja

F → 4 = - F → 2

F → 4 = - C I ln ⁡ a + b b i ^

Passo 5

A força total sobre a espira será a soma de todas as forças que já calculamos

F → T o t a l = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4

F → T o t a l = I C a b j ^ + C I ln ⁡ a + b b i ^ - I C a a + b j ^ - C I ln ⁡ a + b b i ^

F → T o t a l = I C a 2 b a + b j ^

Resposta

  1. F → 1 = I C a b j ^ , F → 3 = - I C a a + b j ^
  2. F → 2 = C I ln ⁡ a + b b i ^ , F → 4 = - C I ln ⁡ a + b b i ^
  3. F → T o t a l = I C a 2 b a + b j ^

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