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Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

A figura abaixo mostra um fio que conduz uma corrente i . Ele é formado por dois trechos retilíneos de comprimento L , ambos tangentes à mesma circunferência de raio R , e por um arco desta circunferência que subentende um ângulo central de 90 ° , conforme a figura abaixo.

O fio está numa região onde existe um campo magnético B → uniforme, perpendicular ao plano da página e orientado para fora dela.

a ) Calcule o vetor força magnética que age sobre cada segmento de fio retilíneo;

b ) Calcule o vetor força magnética que age sobre a parte circular;

c ) Calcule a força resultante que age sobre o fio;

Passo 1

a ) Calcule o vetor força magnética que age sobre cada segmento de fio retilíneo;

A força magnética sobre uma espira é dada por:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

No caso de um fio retilíneo e campo magnético uniforme, podemos dar uma simplificada na fórmula:

F → = I L → × B →

Lembrando que L → é o vetor que aponta sempre na direção e sentido da corrente.

Aqui, vamos dividir o problema em duas partes... vamos resolver para o fio 1 e para o fio 3, como mostra a figura.

Passo 2

  • Fio 1:
  • De acordo com o sentido que a corrente flui no fio 1, e sabendo que aquele ângulo vale 45 ° , podemos escrever L → como:

    L → = L - cos ⁡ 45 ° x ^ + sen ⁡ 45 ° y ^

    L → = L - 2 2 x ^ + 2 2 y ^

    Como o campo magnético é dado por B → = B z ^ , teremos:

    F → 1 = i L - 2 2 x ^ + 2 2 y ^ × B z ^

    F → 1 = 2 2 i L B x ^ + y ^

  • Fio 3:

De acordo com o sentido que a corrente flui no fio 3, podemos escrever L → como:

L → = L 2 2 x ^ + 2 2 y ^

Assim, a força magnética sobre o fio 3 será:

F → 3 = i L 2 2 x ^ + 2 2 y ^ × B z ^

F → 3 = 2 2 i L B x ^ - y ^

Passo 3

b ) Calcule o vetor força magnética que age sobre a parte circular;

A ideia aqui é começar calculando a força d F → 2 sobre um elemento infinitesimal do fio circular, como mostra a figura:

Logo:

d F → 2 = i   d l → × B →

Onde, de acordo com a figura acima:

d l → = d l sen ⁡ θ x ^ - cos ⁡ θ y ^

d l = R d θ

Substituindo esses caras na expressão de d F → , teremos:

d F → 2 = i R d θ sen ⁡ θ x ^ - cos ⁡ θ y ^ × B z ^

d F → 2 = i R B - cos ⁡ θ x ^ - sen ⁡ θ y ^ d θ

Pra finalizar, temos apenas que integrar esse cara de 45 ° até - 45 ° , seguindo o caminho da corrente, que vai de cima para baixo:

F → 2 = i R B - ∫ 45 ° - 45 ° cos ⁡ θ d θ x ^ - ∫ 45 ° - 45 ° sen ⁡ θ d θ y ^

F → 2 = i R B - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^ 45 ° - 45 °

Onde:

cos ⁡ - 45 ° = cos ⁡ 45 °

sen ⁡ - 45 ° = - sen ⁡ 45 ° = - 2 2

Portanto:

F → 2 = - i R B 2 x ^

Passo 4

c ) Calcule a força resultante que age sobre o fio;

A força resultante no fio vai ser a soma vetorial das forças sobre os três fios, que nós já calculamos.

F → R = F → 1 + F → 2 + F → 3

F → R = 2 2 i L B x ^ + y ^ - i R B 2 x ^ + 2 2 i L B x ^ - y ^

Agora é só organizar a bagunça:

F → R = 2 2 i L B x ^ + y ^ + x ^ - y ^ - i R B 2 x ^

F → R = 2 i L B x ^ - i R B 2 x ^

Finalmente::

F → R = 2 i B L - R x ^

Resposta

a )

F → 1 = 2 2 i L B x ^ + y ^

F → 3 = 2 2 i L B x ^ - y ^

b )

F → 2 = - i R B 2 x ^

c )

F → R = 2 i B L - R x ^

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