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Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

A espira da figura, formada por dois arcos circulares de raio a e dois lados retilíneos de comprimento b , é percorrida por uma corrente i . Um fio retilíneo muito longo transportando uma corrente I passa pelo centro de curvatura dos arcos circulares (o fio não está em contato com a espira).

O módulo do campo magnético produzido pelo fio é B = μ 0 I 2 π r , onde r é a distância ao fio.

  1. Calcule o vetor força resultante exercida sobre cada um dos lados da espira pelo fio.
  2. Calcule o vetor torque resultante em relação à origem O exercido sobre a espira pelo fio.

Passo 1

  1. Calcule o vetor força resultante exercida sobre cada um dos lados da espira pelo fio.
  2. A força magnética sobre um fio que transmite uma corrente I é dada por:

    F → = ∫ f i o   i   d l → × B →

    Então o segredo aqui é aplicar essa fórmula a cada um dos fios separados...

    Antes de analisarmos cada fio, tem um detalhe importante que temos que manter em mente. Pra sabermos a direção e sentido do campo magnético, em cada caso, nós vamos usar a regra da mão direita.

    Mas logo de cara, já sabemos que, se o fio central conduz uma corrente I no sentido mostrado na figura, o campo magnético terá essa direção:

    Agora sim, partiu!

    Passo 2

  • Fio 1:
  • Pro fio 1, o campo magnético nele terá essa cara:

    Logo:

    B → = μ 0 I 2 π a j ^

    Onde r = a , na fórmula que o problema nos deu.

    A julgar pelo sentido da corrente, o vetor d l → será:

    d l → = - d z   k ^

    Integrando dos dois lados:

    l → = - b k ^

    Logo, a força no fio 1 será:

    F 1 → = i - b k ^ × μ 0 I 2 π a j ^

    F 1 → = μ 0 i I b 2 π a   i ^

    Eu vou logo para o fio 3 porque a resolução deve ter mais ou menos essa cara.

    Passo 3

  • Fio 3:
  • Agora o campo magnético vai ser algo desse tipo:

    Isso significa que o campo magnético será:

    B → = - μ 0 I 2 π a i ^

    Seguindo o mesmo raciocínio que antes, acompanhando o sentido da corrente i :

    d l → = d z k ^

    l ^ = b   k ^

    E a força, por sua vez:

    F 3 → = i b k ^ × - μ 0 I 2 π a i ^

    F 3 → = - μ 0 i L b 2 π a   j ^

    Passo 4

  • Fios 2 e 4:

Os dois fios tem uma característica em comum.

No fio 2, o campo magnético B → vai estar sempre na mesma direção e sentido que d l → , formando um ângulo θ = 0 ° . No fio 4, o campo magnético B → vai estar sempre na mesma direção e sentido oposto que d l → , formando um ângulo θ = 180 ° .

Em ambos os casos:

d l → × B → = 0

Logo:

F 2 → = F 4 → = 0

Passo 2

  • Calcule o vetor torque resultante em relação à origem O exercido sobre a espira pelo fio.
  • Por definição, o torque é dado por:

    τ = r → × F →

    Como as forças F 1 → e F 3 → estão uniformemente distribuídas ao longo dos fios 1 e 3, os pontos de aplicação dessas forças sobre os fios são os pontos médios desses fios, como mostrado abaixo:

    Logo:

    τ 1 → = a i ^ + b 2 k ^ × μ 0 i I b 2 π a   i ^ = μ 0 i L b 2 4 π a   j ^

    τ 3 → = a j ^ + b 2 k ^ × - μ 0 i L b 2 π a   j ^ = μ 0 i L b 2 4 π a   i ^

    F 2 → = F 4 → = 0 → τ 2 → = τ 4 → = 0

    Passo 3

    O que não podemos esquecer é que o problema pediu o torque resultante, logo:

    τ → = τ 1 → + τ 2 → + τ 3 → + τ 4 →

    τ → = μ 0 i L b 2 4 π a i ^ + j ^

    Resposta

    1. F 1 → = μ 0 i I b 2 π a   i ^

      F 3 → = - μ 0 i L b 2 π a   j ^

      F 2 → = F 4 → = 0 →

    τ → = μ 0 i L b 2 4 π a i ^ + j ^

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