Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

Parte 1: Um fio isolante infinito, alinhado com o eixo y , está carregado com a densidade de carga positiva + λ . Uma carga pontual, com valor q   =   -   8   λ   d , é colocada no ponto ( - d , 0,0 ) , sendo d   >   0 .

a) Calcule o campo elétrico   E → nos pontos ( x , 0,0 ) , sendo x   >   0 .

b) Encontre o valor de x no qual o campo elétrico é nulo.

Parte 2: Três cargas pontuais idênticas Q estão situadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L .

c) Calcule a energia eletrostática do sistema.

d) Calcule a que distância das cargas está o ponto no qual o campo elétrico é nulo.

Passo 1

PARTE 1:

Bem... Como não temos o desenho dessa configuração de cargas dessa parte 1 , acho melhor começarmos por um desenho, pode ser?

No problema temos duas fontes de carga: um fio com densidade de carga + λ no eixo y e uma carga pontual q ...

E na letra A , ele pede para encontrarmos o campo elétrico desse conjunto de cargas em um ponto no eixo x a uma distância x do fio...

Beleza! E aí? Como proceder?

Bem... Temos duas fontes de campo elétrico: o fio e a carga, então...

E = E f i o + E c a r g a

Então é só calcularmos o campo elétrico de cada separado e depois somarmos! Vamos nessa?

Passo 2

L e t r a   A :

Primeiro vamos encontrar o campo elétrico da carga que é mais tranquila!

A teoria nos diz que o campo elétrico de uma carga elétrica pontual é dado pela Lei de Coulomb...

E c a r g a = 1 4 π ε 0 q l 2

Onde l é a distância entre a carga e o ponto onde estamos medindo o campo elétrico. POW! No nosso caso, a distância entre a carga e o ponto do campo é l = x + d , então...

E c a r g a = 1 4 π ε 0 q x + d 2   →

E c a r g a = - 1 4 π ε 0 8 λ d x + d 2  

Passo 3

Agora vamos para o campo produzido por uma reta de carga, beleza?

Para isso, vamos usar a Lei de Gauss que nos diz que o fluxo do campo elétrico dentro de uma Gaussiana deve ser igual á...

∯ G   E → ⋅ d A → = q i n t ε 0

Onde G é a Gaussiana, uma superfície fechada que devemos construir ao redor do fio. No Caso, a Gaussiana mais adequada tem que ser um cilindro de raio x ...

Então a carga presa dentro do cilindro produz um campo elétrico que é radial ao fio sempre...

E olha que maneiro cara, o campo elétrico é perpendicular a superfície do cilindro, o que é o mesmo que dizer que o campo elétrico do fio então tem a mesma direção que o vetor de área da superfície do cilindro...

Pela álgebra, se tivermos dois vetores na mesma direção o produto vetorial deles será apenas o produto dos módulos (tamanhos). Sendo assim, podemos dizer que o produto escalar entre os vetores E → ⋅ d A → é igual ao produto dos módulos, isto é...

E → ⋅ d A → = E f i o   d A

Então...

∯ G   E → ⋅ d A → = q i n t ε 0     →     e q u a ç ã o   1

∬ G   E f i o   d A = q i n t ε 0     →

Como o campo elétrico é constante ao longo de todo o cilindro (Gaussiana)...

E f i o ∬ G     d A = q i n t ε 0     →

E agora quem é a integral de d A ? Isso mesmo! É a área da Lateral do cilindro!

E f i o   2 π x H = q i n t ε 0     →

Onde x é o raio do cilindro e H é a altura do cilindro...

E f i o   = q i n t ε 0 2 π x H     →

Agora, o que significa q i n t / H ? SIM! É a densidade de carga do fio...

E f i o   = + λ 2 π ε 0 x

Viu só! A Lei de Gauss é maravilhosa mesmo, neh? MAS ATENÇÃO: a integral de superfície deve ser sempre calculada em uma superfície fechada. E a partir da e q u a ç ã o   1 , nós trocamos a integral de superfície fechada para uma integral na lateral do cilindro apenas, já que o fluxo de campo elétrico nas tampas do cilindro é 0 (afinal o campo elétrico não sai e nem entra a partir das tampas, ta ligado?

Passo 4

Então, concluindo a Letra A, podemos dizer que o campo elétrico no eixo x é...

E = E f i o + E c a r g a   →

E = λ 2 π ε 0 x - 1 4 π ε 0 8 λ d x + d 2  

E ainda em termos de vetor, podemos dizer que esse campo no eixo x aponta na direção do eixo x ...

Ou seja...

E → = λ 2 π ε 0 x - 1 4 π ε 0 8 λ d x + d 2 x ^   →

E → = λ 2 π ε 0 1 x - 4 d x + d 2 x ^

Passo 5

L e t r a   B

Nesse item apenas temos que encontrar o ponto onde o campo elétrico se anula. Para isso...

E → = λ 2 π ε 0 1 x - 4 d x + d 2 x ^ = 0

Então...

1 x - 4 d x + d 2 = 0

Logo...

1 x = 4 d x + d 2     →

x + d 2 = 4 d x

Resolvendo esse quadrado do lado esquerdo...

x 2 + 2 x d + d 2 = 4 d x   →

x 2 - 2 x d + d 2 = 0

Repare ainda que podemos escrever esse lado esquerdo como...

x - d 2 = 0   →

Ou seja...

x = d

Então essa é a distância onde o campo elétrico é nulo .

Passo 6

PARTE 2:

Assim como no início do exercício 1 , vamos desenhar primeiro essa configuração de cargas, pode ser?

Temos três cargas pontuais de cargas Q dispostas em um triângulo equilátero de lado L ...

Passo 7

L e t r a   C :

POW! Pela teoria sabemos que energia eletrostática pode ser dada por...

U e l e = 1 4 π ε 0 ⋅ q 1 q 2 L

Onde q 1 e q 2 é o par de cargas e L é a distância entre elas!

Então, no nosso caso temos três pares...

Para cada Par desse aí a energia eletrostática será...

U e l e p a r   1 = 1 4 π ε 0 ⋅ Q 2 L

Logo, a energia eletrostática total será...

U e l e t o t a l = 3 1 4 π ε 0 ⋅ Q 2 L  

Passo 8

L e t r a   D :

POXA! Se temos três cargas pontuais idênticas, o ponto onde teremos campo elétrico será nulo será no centro geométrico da figura...

De acordo com a nossa linda Geometria, o centro de um triângulo equilátero (baricentro) acontece a 2 / 3 da altura H ...

E a altura H é dada por Pitágoras...

L 2 = H 2 + L 2 2   →

H 2 = L 2 - L 2 4     →

H 2 = 3 4 L 2   →

H = L 3 2

Então a distância d de cada carga ao ponto de campo elétrico nulo será...

d = 2 3 L 3 2     →

d = L 3 3

Resposta

Letra A:

E → = λ 2 π ε 0 1 x - 4 d x + d 2 x ^

Letra B:

x = d

Letra C:

U e l e t o t a l = 3 1 4 π ε 0 ⋅ Q 2 L

Letra D:

d = L 3 3

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