Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

Ver Teoria

Enunciado

A figura abaixo mostra três fios que conduzem correntes da mesma intensidade do ponto a ao b . O fio 1 é formado por dois segmentos de reta inclinados de mesmo comprimento, o fio 2 é um único segmento de reta horizontal de comprimento L e o fio 3 é um semicírculo de diâmetro L . O segmento de reta tracejado na figura tem comprimento L / 2 . Os fios estão numa região de campo magnético constante   B → perpendicular ao plano da página, com sentido para dentro. Sejam F 1 , F 2 e F 3 as intensidades das forças magnéticas que o campo exerce sobre os fios 1 , 2 e 3 , respectivamente. Nessas condições, podemos afirmar que:

  1. F 1 > F 2 > F 3
  2. F 1 > F 3 > F 2
  3. F 1 = F 2 = F 3
  4. F 2 > F 1 > F 3
  5. F 2 > F 3 > F 1
  6. F 3 > F 1 > F 2
  7. F 3 > F 2 > F 1

Passo 1

A primeira coisa de que precisamos nos lembrar aqui é que a força magnética   F → M que atua sobre um condutor pelo qual passa uma corrente I é dada por

F → M = I ∫   d l →   ×   B →   ,

onde   d l → é um elemento infinitesimal do comprimento do condutor que tem a mesma direção e sentido da corrente I que passa por ele,  B → é o campo magnético na região onde está esse condutor e a integral é feita sobre toda o comprimento do condutor.

Como o problema diz para a gente que o campo magnético   B → é uniforme, então sobre toda a extensão de cada um dos fios esse campo tem o mesmo valor. Por isso, para cada um dos fios, podemos tirar   B → da integral na expressão para  F → M acima e escrever que

F → M = I   ∫   d l →   × B →   .

O que precisamos fazer agora é calcular o valor da integral ∫   d l → para cada um dos fios da Figura acima. Dado o sistema de referência, a “receita de bolo” será a seguinte:

i) primeiro, encontramos o vetor   d l → ;

ii) integramos   d l → sobre o comprimento dos condutores.

Agora, mãos à obra....

Passo 2

FIO 1: Nesse caso, como mostra a Figura abaixo, a direção e sentido do elemento  d l → em cada uma das metades desse fio são sempre os mesmos e, por isso, a força F → em cada uma das metades do fio 1 terá o mesmo módulo, com as direções e sentidos constantes ao longo de cada metade. Esses vetores são desenhados na Figura abaixo.

Na primeira metade do fio 1, o vetor   d l → será escrito como

d l → = d l cos ⁡ 45 ˚   x ^ + s e n 45 ˚   y ^ = d l 2 ( x ^ + y ^ ) .

Quando integrarmos esse vetor, teremos

∫ 0 d = L 2 d l → = 1 2   L 2   x ^ + y ^ = L 2   ( x ^ + y ^ ) .

Então, a força na primeira metade do fio 1 será

F → = I L B 2 x ^ + y ^ × - z ^ ⇒ F → = I L B 2   - x ^ + y ^   .

De maneira análoga, o vetor   d l → na segunda metade do fio é

d l → = d l 2 x ^ - y ^ ,

que nos permite encontrar a força na segunda metade do fio 1, que será

F → = I L B 2   x ^ + y ^ .

Então, para a gente saber qual será a força resultante total  F → R sobre o fio 1, basta somarmos, vetorialmente, os vetores em cada uma das metades .   Isso nos dá que

F → R = F → 1 = I L B   + y ^   .

Esse vetor resultante está desenhado à direita da Figura acima em vermelho.

Passo 3

FIO 2: Nesse caso, a força ao longo de todo o fio terá o mesmo módulo e estará na mesma direção e sentido, como mostra a figura abaixo.

Nesse caso, como   d l → = d l ( + x ^ ) , então

∫ 0 L d l   ( + x ^ ) = L ( + x ^ )   .

Portanto, a força será igual a

F → R = F → 2 = I L B   [   x ^ × - z ^ ]   .

Como   x ^ × - z ^ = y ^ , a força é

F → R = F → 2 = I L B + y ^   .

Passo 4

FIO 3: Para vermos como fica o vetor   d l → nesse caso, vamos redesenhar o fio 3 como na Figura abaixo.

Nesse caso, como o raio desse semicírculo é L / 2 , temos

d l → = L d θ 2 s e n θ   x ^ - cos ⁡ θ   y ^ .

Portanto, a integral é

∫ 0 π d l → = L 2   ∫ 0 π s e n θ d θ   x ^ - ∫ 0 π cos ⁡ θ d θ   y ^ = L 2   - cos ⁡ θ = π + cos ⁡ θ = 0 ( + x ^ ) ,

pois a segunda integral depois da primeira igualdade é nula. Simplificando a expressão acima, temos

∫ 0 π d l → = L + x ^ .

A força nesse caso vai ser dada por

F → 3 = I L B   + x ^ × - z ^ ⇒ F → 3 = I L B + y ^   .

Portanto, as intensidades das forças  F → 1 , F → 2 e F → 3 são iguais.

Resposta

Letra c).

Exercícios de Livros Relacionados

Um condutor longo, rígido, retilíneo, situado sobre o eixo x
Um fio de 1,80 m de comprimento é percorrido por uma corrent
Na Fig. 28-43, um fio metálico de massa m = 24,1 m g pode de
uma linha de transmissão horizontal é percorrida por uma cor