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Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

Um fio fino, transportando uma corrente i , é dobrado na forma de um grampo composto por dois segmentos retilíneos de comprimento L e um arco semicircular de raio R .

O fio está numa região onde existe um campo magnético B → uniforme, perpendicular ao plano do fio e orientado para fora da página, conforme figura ao lado.

  1. Calcule o vetor força magnética que age sobre cada fio retilíneo;
  2. Calcule o vetor força magnética que age sobre a parte circular;
  3. Calcule a força resultante que age sobre o fio todo;

Passo 1

  1. Calcule o vetor força magnética que age sobre cada fio retilíneo;
  2. Beleza! Pra começar, vamos dividir esse cara em três partes, as duas retilíneas e a semicircular.

    A força magnética sobre um fio é dada por:

    F → = ∫ f i o   i   d l → × B →

    Onde o segmento d l → aponta sempre na direção da corrente.

    Nesses casos, como se tratam de fios retilíneos:

    F → = i L → × B →

  • Fio 1:
  • L → = - L x ^

    B → = B z ^

    Logo:

    F 1 → = i L B y ^

  • Fio 2:

L → = L x ^

Portanto:

F 2 → = - i L B y ^

Passo 2

  • Calcule o vetor força magnética que age sobre a parte circular;
  • F → = ∫ f i o   i   d l → × B →

    Pra termos uma ideia de pra onde está apontando d l → vamos pegar um ponto aleatório do fio semicircular:

    Podemos escrever o vetor d l → como:

    d l → = d l - cos ⁡ θ x ^ - sen ⁡ θ y ^

    Como d l é o elemento infinitesimal desse arco, podemos escrevê-lo como:

    d l → = R d θ - cos ⁡ θ x ^ - sen ⁡ θ y ^

    Agora podemos calcular a força:

    F 3 → = i R ∫ 0 π d θ - cos ⁡ θ x ^ - sen ⁡ θ y ^ × B z ^

    F 3 → = i R B ∫ 0 π - sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^ d θ

    F 3 → = i R B cos ⁡ θ x ^ + sen ⁡ θ y ^ 0 π

    F 3 → = - 2 i R B   x ^

    Passo 3

  • Calcule a força resultante que age sobre o fio todo;
  • A força resultante será a soma vetorial das forças que já calculamos, logo:

    F → = F → 1 + F → 2 + F → 3

    F → = i L B y ^ - i L B y ^ - 2 i R B   x ^

    F → = - 2 i R B   x ^

    Resposta

    a.

    F 1 → = i L B y ^

    F 2 → = - i L B y ^

    b.

    F 3 → = - 2 i R B   x ^

    c.

    F → = - 2 i R B   x ^

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