Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

2 . Um fio condutor fino, retilíneo e infinito é posicionado sobre o eixo Y de um sistema de coordenadas. Um segundo fio condutor fino, retilíneo e finito, de comprimento L = 45,6   c m , é posicionado sobre o eixo X com sua extremidade mais próxima a uma distância d = 15,2   c m do primeiro fio, como mostrado na figura abaixo. Os fios transportam correntes estacionárias de intensidades I = 9   A e I ' = 18   A nos sentidos indicados. Quais são o módulo e o sentido da força magnética resultante que o primeiro fio exerce sobre o segundo?

Dados: μ 0 = 4 π × 10 - 7   T . m / A

Escolha uma opção:

a .   58,1   μ N ,   x positivo

b .   35,6   μ N ,   y negativo

c .   44,9   μ N ,   y negativo

d .   22,5   μ N ,   x negativo

e .   22,5   μ N ,   x positivo

f .   44,9   μ N ,   y positivo

g .   58,1   μ N ,   x negativo

h .   35,6   μ N ,   y positivo

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrar a força que o fio infinito faz sobre o fio finito, vamos usar a equação de uma força magnética sobre um fio, que é dada por:

d F → M = I ' d l → × B →

Onde B é o módulo do campo que passa por esse fio, I ' é a corrente que atravessa o fio que estamos interessados e θ é o ângulo entre a direção do campo B e a direção da corrente I .

O campo que atua no fio finito é o gerado pelo infinito que é dado por:

B = μ 0 I 2 π r

Onde I é a corrente que passa pelo fio que gera o campo e r é a distância entre o fio e onde estamos interessados de saber o valor do campo.

Usando a regar da mão direita vemos que o campo gerado pelo fio infinito aponta para dentro da página, vamos chamar essa direção de - z ^ . Então:

B → = - μ 0 I 2 π r z ^

Vamos seguindo!

Passo 2

O vetor L → aponta na direção da corrente que passa pelo fio finito, assim d l → = d l x ^ , então temos o seguinte:

d F → M = I ' d l → × B →

⇒ d F → M = I ' d l x ^ × - μ 0 I 2 π r z ^

O produto vetorial x ^ × - z ^ = y ^ ,assim:

d F → M = I ' d l μ 0 I 2 π r y ^

Passo 3

Agora vamos integrar os dois lados da expressão que chegamos, o lado direito vamos integrar de 0,152   m até 0,608   m que vai dar o comprimento do fio finito, assim:

F → M = ∫ 0,152 0,608 I ' I μ 0 2 π d l l y ^

Onde fizemos r = l só para o nome das variáveis baterem, asism:

F → M = I ' I μ 0 2 π ln ⁡ ( 0,608 ) - ln ⁡ ( 0,152 ) y ^

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

F → M = ( 18 ) ( 9 ) ( 4 π × 10 - 7 ) 2 π ln ⁡ ( 0,6 08 ) - ln ⁡ ( 0,152 ) y ^

F → M = 324 × 10 - 7 1,386 y ^

Com isso temos que:

F → M = 44,9 × 10 - 6   N y ^ = 44,9   μ N y ^

Então nossa alternativa correta é a letra f .

Resposta

f .   44,9   μ N ,   y positivo

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