Exercícios Resolvidos de Força Magnética sobre um Fio Condutor

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Enunciado

Uma espira retangular de lados 3 a e 4 a é colocada em duas regiões: a superior com campo magnético B → = - 2 B 0 z ^ e a inferior com B → = - B 0 z ^ como mostra a figura ao lado. A espira é percorrida por uma corrente de intensidade i no sentido apresentado na figura.

a) Qual deve ser a massa m da espira (preste atenção no sentido da gravidade na figura) para que ela fique suspensa no ar?

b) Qual deve ser o novo valor da massa m para que a espira permaneça em equilíbrio quando mudamos sua orientação para a mostrada na figura inferior?

Passo 1

a)

Aqui temos uma espira que está sujeita a dois campos magnéticos. Se ela cair, ela vai descer no eixo y, então a gravidade está nessa direção. Como queremos saber a massa da espira para que ela não caia, temos que as forças na direção y devem satisfazer

∑ F y = 0

E quais serão essas forças? Serão as forças magnéticas, devido aos campos,e a própria força peso da espira.

Na parte da espira superior, teremos a força:

F → s = i L → × B →

Pela regra da mão direita, como a corrente vai para a direita e o campo entra em z, temos que a força é positiva em y.

F → s = F s y ^

Substituindo os valores:

F → s = i 3 a 2 B 0 y ^

F → s = 6 a i B 0 y ^

Já a força na parte inferior da espira está relacionada ao campo mais fraco

F → i = i L → × B →

Como a corrente, nessa parte da espira vai para a esquerda, horizontalmente, e o campo entra em z, temos que, pela regra da mão direita, a força magnética estará na direção y, no sentido negativo.

F → i = - F i y ^

Substituindo os valores:

F → i = - i 3 a B 0 y ^

Então na direção vertical, temos essas duas forças magnéticas e a força peso atuando:

∑ F → y = F → i + F → s + P →

Como vimos, para a espira ficar parada,

∑ F → y = F → i + F → s + P → = 0

- i 3 a B 0 y ^ + 6 a i B 0 y ^ + P → = 0

O peso aponta na direção y para baixo, então

P → = m g ( - y ^ )

Então

- i 3 a B 0 y ^ + 6 a i B 0 y ^ + m g ( - y ^ ) = 0

Então a massa da espira que satisfaz essa condição é:

m = 3 a B 0 i g

Passo 2

b)

opa! Agora a espira deu uma girada. Mas ainda queremos saber a mesa coisa. Tem pelo menos duas formas de fazer esse exercício. Uma, que tem que fazer mais contas, e outra que já serve de bizu para questões futuras. Vou mostrar esse bizu e explicar como seria a forma mais longa, beleza? A forma mais demorada é calcular a força magnética, através da formula:

F → m a g = i L → × B →

Para cada segmento na espira que está em cada campo. Então você teria que fazer essa formula para 4 regiões, 2 com o campo 2 B 0 e 2 com o campo B 0 . Note que, você teria que tomar cuidado com o L → , porque em nenhum dos segmentos ele está em uma das direções do eixo de referência, teríamos que decompor e então fazer o produto vetorial. Sacou? Bem, pensa aqui comigo, a força gerada pela componente vertical de L → seria nula para cada região. Porque, em uma parte a gente tá subindo e na outra, tá descendo. Olha aqui na figura:

Mas o tanto que você subiu é igual ao tanto que você desceu, então como o campo magnético é uniforme, a força gerada por essas componentes de L , quando somadas, dão zero. Mesma coisa acontece para a região de campo B 0 .

Então, poderíamos ver isso pelas contas, ia dar trabalho, mas íamos chegar a essa conclusão, ou então, podemos pensar nesse argumento e já calcular só a parte horizontal de L . Que é a forma mais rápida.

Então, vamos lá!

Para a região com campo 2 B 0 :

F → m a g 1 = i L → × B →

Onde

B → = - 2 B 0 z ^

E L → é esse cara:

Portanto, pelo teorema de Pitágoras, como sabemos os outra lados da espira, temos:

L = 3 a 2 + 4 a 2

L = 5 a

E ele tá na direção x, sentido positivo, então:

F → m a g 1 = i L → × B →

F → m a g 1 = i 5 a x ^ × - 2 B 0 z ^

F → m a g 1 = 10 i a B 0 y ^

E para a região com campo B 0 :

F → m a g 2 = i L → × B →

Onde

B → = - B 0 z ^

E o L → é:

Notem que o vetor L → mudou de sentido pois agora a corrente vai de B para A, o oposto ao tínhamos antes.

Então

L → = 5 a ( - x ^ )

Beleza?

Então:

F → m a g 2 = - i 5 a B 0 y ^

Então, a força resultante na direção y é:

F → m a g 1 + F → m a g 2 + P → = 0

Já coloquei igual a zero, porque é a mesma condição da letra a). tudo tem que estar em equilíbrio, paradinho.

Então:

10 i a B 0 y ^ - i 5 a B 0 y ^ - m g y ^ = 0

A massa que satisfaz essa condição é:

m = 5 a i B 0 g

Maravilha!!

Resposta

a)

m = 3 a B 0 i g

b)

m = 5 a i B 0 g

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