Uma barra fina (i.e. de espessura desprezível) de vidro na forma de um arco de circunferência de raio R (conforme mostra a figura) possui uma carga + 2 q uniformemente distribuída em seu comprimento.

a) Determine o módulo do campo elétrico no ponto P , situado no centro do arco de circunferência.

b) Calcule o campo elétrico no mesmo ponto P considerando agora que a carga + 2 q está distribuída uniformemente ao longo de uma circunferência de raio R .

Passo 1

L e t r a   A :

Cara, o campo elétrico d E de uma cargasinha d q no ponto P tem a seguinte direção...

Pela Lei de Coulomb podemos encontrar esse campo elétrico d E pela fórmula...

d E = k d q R 2

Repare que θ varre toda a carga de 0 até π 2 . Então temos que arranjar alguma forma de associar d q com θ . E depois integrar em θ de 0 a π / 2 cobrindo todo o arco carregado, ta ligado?

Passo 2

POW! Toda vez que você tiver carga distribuída uniformemente, você sempre pode pensar que existe certa quantidade fixa chamada densidade de carga. Ou seja, se + 2 q estão distribuídos uniformemente em um comprimento L , então a densidade vai ser de...

λ = 2 q L   →

E como λ é constante para um trechinho pequeno de carga...

λ = 2 d q d l       →

Portanto...

d q = 2 q L d l

Agora quem é d l ?

Passo 3

Cara, d l é um comprimentosinho de arco...

E lembrando-se da Geometria que comprimento de arco sempre pode ser associado com o raio R e o ângulo θ ...

L = R θ     →

d l = R   d θ

Então...

d q = 2 q L   R   d θ

Passo 4

Pow! Então isso significa que podemos encontrar o campo elétrico através de...

d E = k d q R 2     →

d E = k 1 R 2 ⋅ 2 q L   R   d θ     →

De uma integral! Onde θ , como já mencionamos varre de 0 a π / 2 ...

E = ∫ 0 π 2 k 1 R 2 ⋅ 2 q L   R   d θ     →

Integrando...

E = k 2 q R L ∫ 0 π 2 d θ     →

E = k 2 q R L π 2     →

E = k q π R L  

Ta faltando só à informação de L ...

L = 1 4   c o m p r i m e n t o   d o   c i r c u l o

L = 1 4 2 π R     →

L = 1 2 π R

Então...

E = k q π R 1 2 π R     →

E = k 2 q R 2

Passo 5

L e t r a   B :

Cara, imagina agora um círculo completinho com essa carga espalhada uniformemente...

Pow! Imagina o campo criado por um lado...

Agora imagina o lado oposto produzindo um mesmo campo elétrico, mas de sentido oposto...

Então no final das contas, o campo total vai zerar quando integrarmos em todo o círculo .

Resposta

LETRA A: E = k 2 q R 2

LETRA B:

z e r o

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