Na figura abaixo, uma carga elétrica pontual + q , de massa m , desloca-se ao longo do eixo x com uma velocidade constante de módulo v . Na origem do sistema de coordenadas (ponto O ), tal partícula penetra numa região retangular de largura d , onde existe um campo magnético uniforme B que é perpendicular ao plano x - y e que “entra” neste plano. Considere que o campo magnético é nulo fora da região indicada na figura. Depois de percorrer tal região de campo magnético, a partícula a abandona no ponto P , localizado a uma altura h em relação ao eixo x . Nestas condições:

(a) Determine o vetor força magnética (em módulo, direção e sentido) que atua na partícula no ponto O .

(b) Sabendo que a partícula entra na região de campo magnético em O e sai em P , calcule o módulo da velocidade v para que isso aconteça, expressando-o em termos de q , B , m , d e h .

(c) As energias cinéticas da partícula em O e P são dadas respectivamente por K O e K P . Determine Δ K = K P - K O .

Passo 1

A direção e o sentido do vetor força magnética F → pode ser calculado a partir da regra da mão direita. Vamos lá:

  • A velocidade v → aponta para a direita, no sentido crescente da direção do eixo x ;
  • O campo B → “entra” no papel, ou seja, no sentido decrescente da direção do eixo z ;
  • Como a carga é positiva, a força irá apontar para cima, no sentido crescente da direção do eixo y .

Beleza?

Passo 2

Para calcular seu módulo, utilizamos a fórmula:

F → = q v → × B → → F → = q v B ,

já que v → e B → são ortogonais!

Assim, o vetor força magnética F → será dado por:

F → = q v B j ^ .

Passo 3

A partícula, ao entrar na região cinza, irá percorrer uma trajetória circular. Assim sendo, a força magnética irá funcionar como uma força centrípeta. Ou seja,

q v B = m v 2 R ,

onde R é o raio da trajetória circular.

Reorganizando a expressão acima, temos:

v = q B R m .

Passo 4

Temos q , B e m . Precisamos, então, determinar o valor do raio R . Para isso, vamos olhar para a figura a seguir. O círculo mostra a trajetória que seria percorrida pela partícula caso houvesse campo magnético em todo o plano x - y .

Vamos analisar os triângulos desenhados:

  1. Os ângulos dos triângulos A O ^ P e O P P ^ marcados são idênticos;
  2. Ambos os triângulos possuem um ângulo reto;
  3. Logo, o terceiro ângulo dos dois triângulos também é o mesmo!
  4. Assim sendo, os triângulos A O ^ P e O P P ^ são semelhantes.

Por semelhança de triângulos, podemos chegar na seguinte expressão:

R O P - = O P - / 2 h ,

R = O P - 2 2 h .

Mas e quanto vale O P - ?

Passo 5

Sabemos que o triângulo O P P ^ é retângulo e, portanto:

O P - 2 = h 2 + d 2 .

Substituindo na expressão encontrada para R , temos:

R = h 2 + d 2 2 h .

Passo 6

Temos, finalmente, que o módulo da velocidade é dado por:

v = q B R m = q B h 2 + d 2 2 m h .

Passo 7

A força magnética não realiza trabalho e, como o trabalho realizado sobre um corpo é igual à sua variação da energia cinética,

Δ K = K P - K O = 0 .

Resposta

(a) F → = q v B j ^ .

(b) v = q B R m = q B h 2 + d 2 2 m h .

(c) Δ K = 0 .

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