15) A figura abaixo representa um espectrômetro de massa, aparelho usado para medir a massa de íons. Um íon de massa ' m ' (a ser determinada) e carga ' q ' é produzido na fonte S , em repouso, e acelerado pelo campo eletrostático associado a uma diferença de potencial V . O íon entra em uma câmara de separação na qual existe um campo magnético B constante (uniforme e estacionário), perpendicular à sua trajetória. Suponha que o íon atinja o detector em um ponto situado a uma distância x do ponto de entrada da câmara. Qual é a massa do íon?

(a) 8 B 2 q x 2 / V .

(b) B 2 q x 2 / ( 8 V )   .

(c) B 2 q x 2 / V .

(d) 2 B 2 q x 2 / V .

(e) B 2 q x 2 / ( 2 V ) .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

A situação desse problema é a seguinte: temos um íon de carga q e massa m . Ele é acelerado por um campo elétrico vinculado a um diferencial de tensão V .

Após essa aceleração, o íon entra em uma câmara onde existe um campo magnético B fazendo ele percorrer uma semicircunferência até colidir com a parede da câmara a uma distancia x da entrada.

Com essa historinha, queremos saber qual é a massa m do íon.

Tem alguma ideia do que fazer para obter essa massa m ? 🤔🤔

Vamos por partes!

Inicialmente o íon estava em repouso e por ação de um campo elétrico, esse íon começa a se mover ganhando energia cinética.

O princípio de conservação de energia é valido para esse caso já que não temos forças externas, então a energia inicial é igual a energia final, correto? 😎

Ao entrar na câmara, o íon começa a realizar um semicírculo devido a ação da força magnética de B ...

Vamos seguir por esse caminho!

Bora lá! 😁

Passo 2

Foi dito que o íon sofreu uma variação de tensão de V na sua aceleração até a câmara, então podemos dizer que a energia potencial inicial é dada pela equação

U = q · V

E infinitesimalmente antes de entrar na câmara toda essa energia inicial foi transformada em energia cinética, que sabemos de física 1 que dada por

K = m v 2 2

Como a energia é conservada, podemos dizer que U = K , ou seja

q · V = m v 2 2

Com essa equação podemos obter a velocidade que o íon entra na câmara... isolando v , temos

2 q V = m v 2

v 2 = 2 q V m

v = 2 q V m

Interessante, não é? 🤩

Passo 3

Assim que o íon entra na câmara com a velocidade v ele começa a realizar uma curva para a direita formando uma semicircunferência de raio x / 2 .

Essa curva é fruto da ação da força magnética que pela regra da mão direita, no caso apontará para a direita ( B aponta para fora da tela).

Essa força que aponta no sentido do centro do movimento circular é familiar para você? 🤔

Conhecemos ela como força centrípeta, lembra?

Com essa analogia, podemos dizer que a força magnética é igual a força centrípeta

F B = F C

Como B , F e v são ortonormais, podemos dizer que

F B = q v B

Já lembrando de Física 1, a força centrípeta é calculada como

F C = m v 2 R

Onde R é o raio do movimento.

Igualando F B = F C

q v B = m v 2 R

Perceba que podemos simplificar a equação cortando v dos dois lados

q B = m v R

Tudo certo até aqui? 👍

Passo 4

Substituindo v que calculamos antes na equação que acabamos de obter, temos

v = 2 q V m → q B = m v R

q B = m R 2 q V m

Vamos tirar essa raiz elevando os dois lados ao quadrado

q B 2 = m R 2 q V m 2

Como a b 2 = a 2 b 2 e como a 2 = a , temos

q 2 B 2 = m R 2 2 q V m 2

Lembrando que a b 2 = a 2 b 2

q 2 B 2 = m 2 R 2 2 q V m

Vamos simplificar m do lado direito cortando do numerador e do denominador e q cortando dos dois lados da igualdade

q B 2 = 2 m V R 2

Isolando m , temos

m = q B 2 R 2 2 V

Mas R não é x / 2 , então

m = q B 2 x 2 2 2 V

m = q B 2 x 2 4   2 V

Simplificando...

m = q B 2 x 2   8 V

Com isso, vamos que a alternativa b) condiz com a resposta que encontramos para a massa do íon!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

(b) B 2 q x 2 / ( 8 V )   .

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